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    <text lang="ger">
      <p bold="true">Rechnen mit Matrizen und Vektoren</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p bold="true">Symbolic matrix and vector operations</p>
    </text>
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    <text lang="ger">
      <p href="Chapter Matrices.sm">Vektoren und Matrizen</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p href="Chapter Matrices.sm">Vectors and Matrices</p>
    </text>
  </region>
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    <text lang="ger">
      <p href="Mathematik.sm">Mathematik</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p href="Mathematik.sm">Mathematics</p>
    </text>
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  <region id="3" left="540" top="54" width="78" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p href="Handbook.sm">Inhalt</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p href="Handbook.sm">Contents</p>
    </text>
  </region>
  <region id="4" left="18" top="90" width="709" height="72" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p>Seien Sie extrem vorsichtig mit symbolischer Auswertung (Optimierung) bei Matrizen 
und Vektoroperationen. SMath vereinfacht arithmetische Ausdrücke nach den Regeln für 
skalare Werte (Distributivität und Kommutativität der Multiplikation). Diese gelten 
im Allgemeinen nicht für Vektoren und Matrizen.</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p>Be very carefull with symbolic evaluation (optimization) of matrix and vector 
operations. SMath simplifies arithmetic expressions according to the rules for scalar
values (distributivity, commutativity of multiplication). These do not in general
apply to matrices.</p>
    </text>
  </region>
  <region id="5" left="18" top="180" width="380" height="24" border="true" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p bold="true">Schalten Sie also im Zweifelsfall auf numerische Auswertung.</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p bold="true">If in doubt, better use numeric optimization.</p>
    </text>
  </region>
  <region id="6" left="18" top="216" width="692" height="72" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p>Ein Beispiel ist die Multiplikation dreier Vektoren, bei dem mit zwei Vektoren 
ein Skalarprodukt gebildet wird und das Ergebnis mit dem dritten Vektor multipliziert 
wird. Dabei kommt es entscheidend auf die Klammersetzung an. Die Vektoren a, b und c
sind hier noch nicht definiert (SMath weiß überhaupt noch nicht, dass die Variablen 
mal Vektoren werden sollen). Daher muss symbolisch ausgewertet werden.</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p>An example is the multiplication of three vectors, where two of them form a dot
product and the resulting scalar is multiplied by a third vector. Here, bracketing 
is crucial. Vectors a, b and c are undefined and untyped variables. SMath does not 
even know that they are going to become vectors. Numeric evaluation is not possible</p>
    </text>
  </region>
  <region id="7" left="36" top="297" width="121" height="26" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="symbolic">
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="8" left="162" top="297" width="121" height="26" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="symbolic">
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="9" left="306" top="297" width="121" height="26" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="symbolic">
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="10" left="18" top="342" width="712" height="56" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p>Wie man sieht, verschwinden die Klammern. Der Ausdruck wird bei der Berechnung von 
links nach rechts abgearbeitet. Das Produkt a∙b oder b∙a  wird zuerst berechnet. 
Betrachten wir, was passiert, wenn wir den Variablen Vektoren zuweisen:</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p>The brackets disappear. During calculation, the expression is processed from left to
right. The products a∙b or b∙a  is computed first. See what happens, if numeric values
are assigned to the vectors.</p>
    </text>
  </region>
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    <math optimize="2">
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
        <e type="operator" args="2">:</e>
      </input>
    </math>
  </region>
  <region id="12" left="90" top="405" width="52" height="62" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math optimize="2">
      <input>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">2</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
        <e type="operator" args="2">:</e>
      </input>
    </math>
  </region>
  <region id="13" left="153" top="405" width="52" height="62" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math optimize="2">
      <input>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="operand">2</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
        <e type="operator" args="2">:</e>
      </input>
    </math>
  </region>
  <region id="14" left="225" top="405" width="68" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="numeric">
        <e type="operand">6</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="15" left="225" top="423" width="68" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="numeric">
        <e type="operand">6</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="16" left="225" top="441" width="76" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="numeric">
        <e type="operand">10</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="17" left="18" top="468" width="168" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p>Auswertung symbolisch</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p>symbolic evaluation</p>
    </text>
  </region>
  <region id="18" left="27" top="495" width="108" height="62" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="symbolic">
        <e type="operand">6</e>
        <e type="operand">12</e>
        <e type="operand">18</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="19" left="153" top="495" width="108" height="62" color="#ff0000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="symbolic">
        <e type="operand">6</e>
        <e type="operand">12</e>
        <e type="operand">18</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="20" left="297" top="495" width="108" height="62" color="#ff0000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="symbolic">
        <e type="operand">6</e>
        <e type="operand">12</e>
        <e type="operand">18</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="21" left="432" top="504" width="61" height="24" color="#ff0000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p>falsch!</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p>wrong!</p>
    </text>
  </region>
  <region id="22" left="18" top="558" width="707" height="88" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p>Wenn SMath merkt, dass beide Faktoren Vektoren sind, dann wird das Skalarprodukt 
berechnet. Dies ergibt eine Zahl, die dann im zweiten Schritt mit dem Vektor c
 multipliziert wird. Dies ist aber definitiv nicht gemeint. Die rot markierten 
Ausdrücke sind falsch berechnet, weil SMath die symbolischen Vereinfachungen der 
Ausdrücke vor dem Einsetzen der konkreten Werte vornimmt. Stellt man auf numerische 
Auswertung um, so erhält man die richtigen Ergebnisse.</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p>If SMath notes that both factors are vectors, then the scalar product is computed.
This scalar is then multiplied by the vector c in all three cases, which is wrong for
two of them. This is due to SMath doing symbolic simplification prior to substituting
actual values. If the optimization is set to numeric, this does not happen and the 
expressions are evaluated correctly.</p>
    </text>
  </region>
  <region id="23" left="18" top="666" width="160" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p>Numerische Auswertung</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p>numeric evaluation</p>
    </text>
  </region>
  <region id="24" left="27" top="693" width="108" height="62" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="numeric">
        <e type="operand">6</e>
        <e type="operand">12</e>
        <e type="operand">18</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="25" left="153" top="693" width="108" height="62" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="numeric">
        <e type="operand">10</e>
        <e type="operand">10</e>
        <e type="operand">10</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="26" left="297" top="693" width="108" height="62" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <math>
      <input>
        <e type="operand">b</e>
        <e type="operand">a</e>
        <e type="operand">c</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
        <e type="bracket">(</e>
        <e type="operator" args="2">*</e>
      </input>
      <result action="numeric">
        <e type="operand">18</e>
        <e type="operand">12</e>
        <e type="operand">6</e>
        <e type="operand">3</e>
        <e type="operand">1</e>
        <e type="function" preserve="true" args="5">mat</e>
      </result>
    </math>
  </region>
  <region id="27" left="18" top="774" width="177" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p href="Chapter Matrices.sm">Vektoren und Matrizen</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p href="Chapter Matrices.sm">Vectors and Matrices</p>
    </text>
  </region>
  <region id="28" left="18" top="792" width="103" height="24" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
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      <p href="Mathematik.sm">Mathematik</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p href="Mathematik.sm">Mathematics</p>
    </text>
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      <p href="Handbook.sm">Inhalt</p>
    </text>
    <text lang="eng">
      <p href="Handbook.sm">Contents</p>
    </text>
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  <region id="30" left="18" top="846" width="450" height="40" color="#000000" bgColor="#ffffff" fontSize="10">
    <text lang="ger">
      <p italic="true">$Author: mkraska $
$Date: 2013-10-28 00:01:36 +0100 (Mo, 28. Okt 2013) $ </p>
    </text>
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