all spline stuff

7e1358d4-3f45-4ef0-8760-b387732a0533 16 6 12 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

all spline stuff

Prepare the pseudo-integrand s X Y fintegrate i 1 N range h i el X i 1 + el X i el - : f i el h i el 2 / Y i el Y i 1 + el + (* h i el (3^24 / s i el s i 1 + el + (* - : 21 line for f 21 line :

s X Y t dspline t X 2 el ≤ k 1 : t X X rows 1 - el ≥ k X rows 1 - : k 1 : t X k 1 + el > k k 1 + : while 21 line if if c Y k 1 + el Y k el - X k 1 + el X k el - / s k 1 + el 2 s k el * + (X k 1 + el X k el - 6 / (* - : s k 1 + el s k el - X k 1 + el X k el - / (t X k el - (2^2 / * s k el t X k el - (* + c + 31 line eval :

The while loop form of the spline interpolation function s X Y t interpspline Find the knots that bracket 't' i0 1 : j X rows : j i0 - 1 > i i0 j + 2 / Floor : X i el t > j i : i0 i : if 21 line while Evaluate the spline based on those knots h X j el X i0 el - : a X j el t - h / : b t X i0 el - h / : a Y i0 el * b Y j el * + h 2^6 / a a 2^1 - (* s i0 el * b b 2^1 - (* s j el * + (* + 91 line :

The long cubic spline [lpc], scalar interpolation. s X Y t InterpSpline t X 1 el ≤ idx 1221 mat : t X N el ≥ idx N N 1 + 21 mat : i 1 : X i el t < i i 1 + : while idx i 1 - i 21 mat : 31 line if if hx X idx 2 el el X idx 1 el el - (: hy Y idx 2 el el Y idx 1 el el - (: hs s idx 2 el el s idx 1 el el - (: 31 line a hs 6 hx * / : b s idx 1 el el 2 / : c hy hx / hx 6 / s idx 2 el el 2 s idx 1 el el * + (* - (: d Y idx 1 el el : 41 line a t X idx 1 el el - (3^* b t X idx 1 el el - (2^* + c t X idx 1 el el - (* + d + 41 line :

data char size clr plot k 1 data rows range r3 k el char : r4 k el size : r5 k el clr : 13 mat for data r3 r4 r5 augment 21 line :

L H N xd range discretise U 0 : dx H L - N / : i 1 N 1 + range U i el L dx - (dx i * + : for U 51 line :

data 1425324342 mat :

Discrete as needed L 0 : H 5 : Num 100 : 13 mat U L H Num xd : 21 mat

Part 1. get the 's' spline coefficients

t0 1 time :

l_p_cspline sanity Mathcad

X data 1 col : Y data 2 col : n data rows : 31 line

Initialise the blank diagonal matrix

M 11 el 1 :

M n n el 1 :

M 100000000000000144 mat

N n 1 - : r 2 N range : 21 line

Prepare the cubic splines

Install the constant vector 'br' i r br i el Y i 1 + el Y i el - X i 1 + el X i el - / (Y i el Y i 1 - el - X i el X i 1 - el - / (- eval : br N 1 + el 0 : 21 line for

Fill-in the respective l_p_c splines tridiagonal matrices

0. Construct the tridiagonal linear spline matrix [lspline]

i r M i i 1 - el X i el X i 1 - el - 6 / : for

i r M i i el X i 1 + el X i 1 - el - 3 / : for

i r M i i 1 + el X i 1 + el X i el - 6 / : for

lspline M :

1. Construct the tridiagonal parabolic spline matrix [pspline]

M 12 el 1 - :

M N 1 + N el 1 - :

pspline M :

2. Construct the tridiagonal cubic spline matrix [cspline]

M 12 el X 1 el X 3 el - (X 3 el X 2 el - / (:

M N 1 + N el X N el X N 2 - el - (X N 2 - el X N 1 - el - / :

M 13 el X 2 el X 1 el - (X 3 el X 2 el - (/ :

M N 1 + N 1 - el X N 1 - el X N el - (X N 1 - el X N el - (/ :

cspline M :

s cspline 1 -^br * :

select your spline type

Spool to file

CWD C:\SmathFile CurrentDirectory :

Spool to file the spline coefficcients s CWD spline wfile 1

s CWD spline rfile :

s transpose 12 - 4 - 41214 mat

Part 2. The complimentary cumulative integrate

Σ s X Y fintegrate :

Σ Σ :

v X 1 Σ rows range 11 range el :

Σ 5.166667 3.5 1.833333 31 mat

pointΣ v Σ augment o 5 black plot :

view the point-integrand

pointΣ

Export the cumulative integral Σcumul n X rows 1 - : Sum 1 el 0 : Sum n 1 + el 0 : i 1 n range Sum i 1 + el Sum i el Σ i el + eval : for X Sum augment 51 line :

Σcumul Σcumul :

Σcumul 102 5.166667 3 8.666667 4 10.5 42 mat

Σ Σcumul o 5 black plot :

l_p_c spline cumulative integrate

Σ Σcumul 2 1 sys

x f X Y x cinterp :

cumulative i 1 X rows range y i el x f x X 1 el X i el int : for X y augment 21 line :

Strictly equivalent   ! cumulative 102 4.9 3 8.4 4 10.5 42 mat

Part 3. The complimentary scalar dspline

x D s X Y x dspline :

3 D 2.333333 -

D2 X s augment :

x plotD L x ≤ (x H ≤ (& (x D out spline if :

D2 112 - 24 - 3441242 mat

x D2 D2 1 col D2 2 col x linterp :

The scalar dspline

x plotD 0 2 1 sys

2nd derivative directly from [X,s]

x D2 0 2 1 sys

Part 4. The [lpc] spline interpolation

Data data o 5 black plot :

x Spline s X Y x interpspline :

x plot L x ≤ (x H ≤ (& (x Spline out spline if :

Data 14 o 5 black 25 o 5 black 32 o 5 black 43 o 5 black 45 mat

"Proofing" the cubic spline project

1 4 o 5 black 2 5 o 5 black 3 2 o 5 black 4 3 o 5 black 4 5 mat x plot 2 1 sys

1 time t0 - 2.1 s *

Sources and credits: 1. Mathsoft for the tridiagonal systems. 2. Robert Adair for the algos: ...InterpSpline(s,X,Y,t) ...dspline(s,X,Y,t) ...fintegrate(s,vx,vy) 3. Smath adapted: Jean Giraud