<content> dsol </content>

3ff9934e-0071-4049-99d1-c9dc1e9d79f9 314 Alvaro Diaz Falconi 4 5 false false false 0 0 decimal <content> dsol </content> <content> Utils </content>

M Cols C 0 : k 1 M cols range : 12 mat C 1 k el M k col : 21 line :

a b n pR a b a - n / 0 n range * + eval 11 line :

A D C B TriDiagSys n B length : v n 1 matrix : y v : 13 mat w A 1 el 1 -^: y 1 el B 1 el w * : 12 mat k 2 n range v k 1 - el C k 1 - el w * eval : w A k el D k el v k 1 - el * - (1 -^eval : y k el B k el D k el y k 1 - el * - (w * eval : 31 line for k n 1 - (1 range y k el y k el v k el y k 1 + el * - eval : for y 51 line :

x y pStem XY 03 matrix : S 02 matrix : 12 mat k 1 x length range XY XY x k el y k el o 13 mat stack : S S x k el 0 x k el y k el x k el 032 mat stack : 21 line for XY S 21 sys eval 31 line :

e# a# b# Equrep equrep(e# num2str, a# num2str, b# num2str) concat str2num 11 line :

x# a# Find n# 1 x# length range : f# x# n# el n# augment eval a# 1 findrows : (0 ≡ 0 f# 2 col eval if 21 line :

fs# x# feval fs# num2str (x# num2str) concat str2num 11 line :

fs# x# y# feval fs# num2str (x# num2str, y# num2str) concat str2num 11 line :

fs# x# y# z# feval fs# num2str (x# num2str, y# num2str, z# num2str) concat str2num 11 line :

<content> Options </content>

O# o# Options Ω# 01 matrix eval : n# 0 : 12 mat ω# o# sys2mat.1 num2str vectorize eval ω# ω# " strrep : n# n# 1 + : 12 mat g# ω# ≡ strsplit : length 1 > f# 1 O# rows range O# augment eval g# 1 el 2 findrows : (0 ≠ (O# f# 1 el 2 el g# 2 el : O# O# g# 1 el g# 2 el augment 11 O# cols range el stack eval : if Ω# Ω# g# 2 el stack eval : 21 line f# O# ω# 1 findrows : (0 ≠ (Ω# Ω# f# 2 el stack eval : Ω# Ω#'NaN stack eval : if if 21 line for Ω# rows 2 > o# cols 1 ≡ Ω# Ω# transpose if Ω# 1 el if 31 line :

<content> Example Options </content>

dsol solver Rkadapt steps 100 stepsmax 0 eps 10^{-7} 42 mat :

dsol dummy Options'NaN

dsol steps dummy eps 31 mat Options 100'NaN 10^{-7} 31 mat

dsol steps dummy eps 13 mat Options 100'NaN 10^{-7} 13 mat

dsol steps solver rkfixed ≡ eps 31 mat Options 100 rkfixed 10^{-7} 31 mat

dsol solver rkfixed steps 100 stepsmax 0 eps 10^{-7} 42 mat

dsol Jacobian J# ≡ Options J#

dsol solver rkfixed steps 100 stepsmax 0 eps 10^{-7} Jacobian J# 52 mat

Check inside a procedure

x f dsol dummy x ≡ Options dsol 21 line :

1 f solver rkfixed steps 100 stepsmax 0 eps 10^{-7} Jacobian J# dummy 162 mat

dsol solver rkfixed steps 100 stepsmax 0 eps 10^{-7} Jacobian J# 52 mat

lbvp.2(f(x),[a,b],M,n) solves the linear BVP y'' + p(x)y' + q(x)y = φ(x) in a < x < b with    f(x) = [p(x), q(x), φ(x)],  M = [α1 β1 c1; α2 β2 c2]  and     α1*y(a) + β1*y'(b) = c1   and  α2*y(a) + β2*y'(b) = c2using central differences. 1 f x M n lbvp.2 h x 2 el x 1 el - n / : X x 1 el 0 n range h * + : ν n 1 + : P 0 : Q 0 : Φ 0 : α1 β1 c1 α2 β2 c2 23 mat M : 17 mat r 1 ν range P r el Q r el Φ r el 13 mat X r el f eval : for A D C B 14 mat 2 - h 2^Q * + (2 h P * - 2 / (2 h P * + 2 / (h 2^Φ * (14 mat eval : A 1 el D 1 el C 1 el B 1 el 14 mat β1 0 ≡ 100 c1 α1 / 14 mat A 1 el 2 h * α1 β1 / * D 1 el * + (02 B 1 el 2 h * c1 β1 / * D 1 el * + (14 mat if eval : A ν el D ν el C ν el B ν el 14 mat β2 0 ≡ 100 c2 α2 / 14 mat A ν el 2 h * α2 β2 / * C ν el * - (20 B ν el 2 h * c2 β2 / * C ν el * - (14 mat if eval : Y A D C B TriDiagSys : Y' Y : j 2 n range : 13 mat Y' j el Y j 1 + el Y j 1 - el - 2 h * / : Y' 1 el β1 0 ≡ Y 2 el Y 1 el - h / c1 β1 / α1 β1 / Y 1 el * - if : Y' ν el β2 0 ≡ Y ν el Y n el - h / c2 β2 / α2 β2 / Y ν el * - if : 13 mat X Y Y' augment eval 81 line :

bvp.2(f(x),[a,b],M,n,ε) solves the non-linear BVP y'' = f(x,y,y') in a < x < b with M = [α1 β1 c1; α2 β2 c2] where     α1*y(a) + β1*y'(b) = c1   and  α2*y(a) + β2*y'(b) = c2using central differences. fs# x Y M n ε bvp.2 x# y# y'# f fs# x# y# y'# feval : h x 2 el x 1 el - n / : X x 1 el 0 n range h * + : ν n 1 + : P 0 : Q 0 : Φ 0 : α1 β1 c1 α2 β2 c2 23 mat M : 17 mat Y 0 ≡ ψ x 1 el α1 * β1 + α1 x 2 el α2 * β2 + α2 22 mat (1 -^c1 c1 21 mat * : Y ψ 2 el ψ 1 el X * + : 12 mat 0 if Δy Y max Y min - ν / (2^h 2^+ sqrt eval : Δy' Δy h 1 -^* : 12 mat x y y' fy x y Δy + y' f x y Δy - y' f - 2 Δy * / : x y y' fy' x y y' Δy' + f x y y' Δy' - f - 2 Δy' * / : A ν 1 matrix eval : D A : C A : B A : Y' A : j 2 n range : 16 mat Iter 1 dsol MaxIters Options str2num range Y' j el Y j 1 + el Y j 1 - el - 2 h * / : Y' 1 el β1 0 ≡ Y 2 el Y 1 el - h / c1 β1 / α1 β1 / Y 1 el * - if : Y' ν el β2 0 ≡ Y ν el Y n el - h / c2 β2 / α2 β2 / Y ν el * - if : 13 mat r 1 ν range P r el Q r el Φ r el 13 mat X r el Y r el Y' r el fy X r el Y r el Y' r el fy' X r el Y r el Y' r el f 13 mat eval : for A D C 13 mat 2 - h 2^P * - (2 h Q * - 2 / (2 h Q * + 2 / (13 mat eval : B j el 2 Y j el * - Y j 1 + el + Y j 1 - el + h 2^Φ j el * - eval : A 1 el D 1 el C 1 el B 1 el 14 mat β1 0 ≡ 100 Y 1 el c1 α1 / - 14 mat A 1 el 2 h * α1 β1 / * B 1 el * + (022 Y 2 el * 21 - h α1 β1 / * + (* Y 1 el * + 2 h * c1 β1 / * - h 2^Φ 1 el * - (14 mat if eval : A ν el D ν el C ν el B ν el 14 mat β2 0 ≡ 100 Y ν el c2 α2 / - 14 mat A ν el 2 h * α2 β2 / * C ν el * - (202 Y n el * 21 h α2 β2 / * + (* Y ν el * - 2 h * c2 β2 / * + h 2^Φ ν el * - (14 mat if eval : Yo A D C B - TriDiagSys : Y Y Yo + eval : 12 mat Yo norme ε Y norme * < break continue if 81 line for Iter dsol MaxIters Options str2num < X Y Y' augment eval MaxIters  rached. error if 91 line :

dsol(DE,X,tf,N) try to solve the Differential Equation system DE for the functions in X. Ev# Yv# TF# N# dsol m kg s K A cd 16 mat 11111116 mat : u# v# t# EQ_F# IG_F# EQ_F# RK_D# Clear ky# 0 : kn# 0 : kv# 0 : 14 mat ys# 0 : U# 0 : V# 0 : K# 0 : NK# 0 : IC# 03 matrix eval : 16 mat M# 0 : ES# Ev# num2str : ES'# ES#' strsplit rows : 13 mat BIC# 0 : bic# 0 : too# : 13 mat s# Yv# sys2mat.1 num2str vectorize eval a# b# 12 mat s# (findstr 1 el s#) findstr 1 el 12 mat : ts# s# a# 1 + b# a# - 1 - substr : Assuming all ≡ 12 mat ys# ky# ky# 1 + : el s# 1 a# 1 - substr : k# 1 ES'# range ES# s# s# ('(strrep : findstr 1 - ≠ M# ky# el k# : if for 41 line for s# Ev# sys2mat.1 num2str vectorize eval g# s# ≡ strsplit : g'# s# ≈ strsplit : 12 mat dsol g# 1 el 1 findrows 0 ≡ NK# NK# 1 + : s# (ts#) concat findstr 1 - ≡ a# b# 12 mat g# 1 el (findstr 1 el g# 1 el) findstr 1 el 12 mat : to# s# a# 1 + b# a# - 1 - substr : too# ≡ (too# to# ≠ (| BIC# bic# bic# 1 + : el to# : too# to# : 12 mat if g'# length 1 ≡ ico# s# 1 a# 1 - substr : S# ico#' strrep (ts#) concat strrep : f# ys# S# Find : (0 ≠ IC# IC# f# 1 el ico#' strsplit rows g# 2 el 13 mat stack : if K# NK# 1 el IC : K# NK# 2 el g# 1 el str2num g# 2 el str2num - : bvp 13 mat 41 line K# NK# 1 el IG : K# NK# 2 el g'# 1 el str2num g'# 2 el str2num - : 12 mat if 41 line g# length 1 ≡ K# NK# 1 el EQ : K# NK# 2 el s# str2num : 12 mat K# NK# 1 el EQ : K# NK# 2 el g# 1 el str2num g# 2 el str2num - : 12 mat if if 21 line dsol s# Options if 21 line for ic# 1000 IC# 1 col * IC# 2 col + IC# 3 col augment : ic# ic# 1 csort 2 col eval : ic# ic# str2num vectorize : 12 mat n# 1 ky# range kn# kn# 1 + : a# ys# n# el (ts#) concat : 12 mat K# K# a# u# kn# el Equrep : m# 1 : m# M# n# el ≤ m# m# 1 + : a# a# ('(strrep : m# M# n# el 1 - ≤ kn# kn# 1 + : kv# kv# 1 + : V# kv# el u# kn# el : 13 mat K# K# a# u# kn# el Equrep : 21 line if 21 line for kv# kv# 1 + : U# n# el v# n# el : V# kv# el v# n# el : 13 mat K# K# a# v# n# el Equrep : 51 line for EQ# K# EQ 1 findrows 2 col : v# EQ_F# EQ# eval : 12 mat bic# 1 > IC# K# IC 1 findrows 2 col : u# FI# IC# : 12 mat M# u1# u2# 21 mat FI# u1# diff vectorize u1# u2# 21 mat FI# u2# diff vectorize 0021 mat FI# - augment eval : dsol dsolver Options lbvp.2 ≡ u# v# FE# EQ# 1 el : dv# u1# u2# 21 mat v1# 11 mat FE# v1# diff : 12 mat L# u1# u2# 21 mat v1# 11 mat FE# u2# diff dv# / u1# u2# 21 mat v1# 11 mat FE# u1# diff dv# / 0021 mat 011 mat FE# dv# / - 13 mat : lf#(ts#): L# num2str concat str2num v1# lf# BIC# str2num vectorize M# N# lbvp.2 41 line dsol dsolver Options bvp.2 ≡ vg# dsol DefaultGuess Options str2num : vg# vg# vg# stack : f# K# IG 1 findrows : num2str 0 ≠ IG# f# 2 col : u# IG_F# IG# eval : 12 mat vg# vg# 01020 -^IG_F# al_nleqsolve 2 el N# 1 + 1 matrix + eval : 21 line vg# 0 : if v# BF# EQ# : ε# dsol eps Options str2num : go# dsol DefaultGuess Options str2num 11 mat : t# y# y'# bf# ts# : t# num2str concat str2num u# y# y'# 12 mat : go# BF# al_nleqsolve 1 el 31 line : bf# BIC# str2num vectorize vg# M# N# ε# bvp.2 81 line Not Implemented. error if 31 line vg# dsol DefaultGuess Options str2num ky# 1 matrix + eval : f# K# IG 1 findrows : num2str 0 ≠ IG# f# 2 col : v# IG_F# IG# eval : vg# vg# 01020 -^IG_F# al_nleqsolve : 13 mat if v# vg# : dsol UpdateGuess Options 1 ≡ t# u# v# RK_D# ts# : t# num2str concat str2num v# v# EQ_F# al_nleqsolve : V# eval 31 line : t# u# RK_D# ts# : t# num2str concat str2num v# vg# EQ_F# al_nleqsolve : V# eval 31 line : if dsol dsolver Options (ic#,str2num(to#),TF#,N#,RK_D#) concat str2num 51 line if 121 line :

DE# Y# N# dsol DE# Y# 0 N# dsol 11 line :

dsol dsolver rkfixed steps 100 nsolver al_nleqsolve stepsmax 0 eps 10^{-7} DefaultGuess 1 UpdateGuess 1 MaxIters 5082 mat :

nsol nsolver al_nleqsolve stepsmax 0 eps 10^{-7} 32 mat :

n 1.8 :

F 1 :

x.end 1 :

N 100 :

x.0 0 :

y.0 0 :

α x y' atan :

β α x F x y + / atan + :

L x y x.end N dsol :

0 y 0 ≡

n α sin * β sin ≡

y.max L 2 col max : 0.4005

r x.end 2^y.max r - (2^+ r 2^≡ r solve : 1.4488

x y L 1 col L 2 col x lspline :

k 0 :

P L L 1 - 1 stack diag * reverse stack :

x 01 0.2 range x.end * R k k 1 + : el x F x x y 0 F - x - x y x - F 52 mat : for

yaxis XYPlot'YAxis : \007B\yaxis\007D\\0027\Max y.max 0.1 x.end * + : \007B\yaxis\007D\\0027\Min 1.1 - (F * : \007B\yaxis\007D\\0027\Tick 0.2 : 41 line

xaxis XYPlot'XAxis : \007B\xaxis\007D\\0027\Max 1.1 x.end * : \007B\xaxis\007D\\0027\Min 1.1 x.end * - : \007B\xaxis\007D\\0027\Tick 0.2 : 41 line

x Clear 1

x 2 ^ y r - ( 2 ^ + r 2 ^ - P x x.end / ( 2 ^ y.max * R 4 1 sys

Alvaro

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