<p> Finite differences ... ∫rkf </p>

69a5abef-94fc-489f-ad02-88264cb9bb87 129 4 5 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

μ.0 0.012277471 :

μ.1 1 μ.0 - :

M.H2O 0.018 :

VDP 0.0008 :

E.CO2 56.04 :

P.s 0.01 :

d.c 0.001 :

P.i 0.02 :

T.ref 273 :

m.w 1 :

E.O2 54.38 :

A.c 43 / π * d.c 2 / (3^* : 5.236 1010 -^*

P.atm 1 :

V.f 490 :

O.2i 21 :

K.iO2 38.60 :

R.h 0.05 :

VDP 0.01 :

O.2o 21 :

K.iCO2 57.90 :

p.H2Oref 11014 -^* :

R 8.314 :

V.mO2 63 :

A.p 0.0178 :

r.CO2 14.9886 :

p.CO2ref 21014 -^* :

V.mCO2 54 :

K.mO2 4.09 :

CO.2o 0.03 :

r.O2 0 :

K.mCO2 54.68 :

W.s 0.250 :

CO.2i 0.03 :

p.O2ref 11014 -^* :

W.a 1.25 :

K.s 13.6 109 -^* :

D.ab 2.6 105 -^* :

t.r .001 :

T.s 278 :

HR.1 0.0054 :

P.o 0.01 :

L.f 401006^* :

RH 0.9 :

W.l 1 :

M.c 0.044 :

K.a 2 D.ab * M.H2O * d.c R * T.s * / : 4.0497 107 -^*

m.pr 1 :

Rel.MR r.CO2 r.CO2standard / :

a.w 0.99 :

K.t 11 K.a / 1 K.s / + / : 1.3158 108 -^*

N.h 6 :

P.s 0.041081168 T.s 3^* 32.43188 T.s 2^* - 8567.5269 T.s * + 757070.1 - (105 -^* : 0.0086

HR.sat 0.62198 P.s * P.atm P.s - (/ : 0.0054

VDP a.w RH - (P.s * (: 0.0008

p.CO2 p.CO2ref π R.h 2^* D.ab * L.f R.h + (/ N.h * + : 5.0630528334212 1014 -^*

p.O2 p.O2ref π R.h 2^* D.ab * L.f R.h + (/ (N.h * + : 4.06305283342123 1014 -^*

r.CO2standard V.mCO2 O.2o * K.mCO2 1 CO.2o K.iCO2 / + (O.2o * + / E.CO2 R / 1 T.s / 1 T.ref / - (* - exp * : 14.9886

k.sref 0.6 :

N 1 :

N.max 10 :

n

Rel.MR r.CO2 r.CO2standard / : 1

y5 Rel.MR k.sref * N * N.max N - N.max / (* : 0.54

t U D r.O2 V.mO2 U 1 el * K.mO2 1 U 2 el K.iO2 / + (U 1 el * + / E.O2 R / 1 T.s / 1 T.ref / - (* - exp * : r.CO2 V.mCO2 U 1 el * K.mCO2 1 U 2 el K.iCO2 / + (U 1 el * + / E.CO2 R / 1 T.s / 1 T.ref / - (* - exp * : y1 A.p p.O2 * P.atm * L.f / 0.01 O.2o U 1 el - (* (* W.s r.O2 * - (V.f / 100 * : y2 A.p p.CO2 * P.atm * L.f / 0.01 CO.2o U 2 el - (* (* W.s r.CO2 * + (V.f / 100 * : y4 p.H2Oref A.p * P.i P.o - (* L.f / (0.018 P.atm * R T.s * / (* (: Rel.MR r.CO2 r.CO2standard / : y5 Rel.MR k.sref * U 7 el * N.max U 7 el - N.max / (* : U 4 el y4 HR.sat / : U 5 el a.w U 4 el - (P.s * (: U 3 el U 5 el K.t * : U 6 el U 3 el A.c * : y3 U 6 el M.c r.CO2 * W.s * + (: y1 y2 y3 y4 y5 U 1 el U 2 el U 3 el U 4 el U 5 el U 6 el U 7 el stack 131 line :

y1 O2

y2 CO2

y3 Wl

y4 HR

vector

y1 O2

y2 CO2

y3 mw

y4 RH

y5 VDP

y6 tr

y7 N

t.min 0 :

t.max 200 :

N 300 :

AbsTol 104 -^:

RelTol 104 -^:

y 21 0.03 0 0.5 14000 0.5 0.0008 0.03 1 stack :

res y t.min t.max N 1 - D lsoda :

p1 res 1 N range 1221 mat el :

p2 res 1 N range 1321 mat el :

p3 res 1 N range 1421 mat el :

p4 res 1 N range 1521 mat el :

p5 res 1 N range 1621 mat el :

t U D V.mO2 U 1 el * K.mO2 1 U 2 el K.iO2 / + (U 1 el * + / E.O2 R / 1 T.s / 1 T.ref / - (* - exp * V.mCO2 U 1 el * K.mCO2 1 U 2 el K.iCO2 / + (U 1 el * + / E.CO2 R / 1 T.s / 1 T.ref / - (* - exp * A.p p.O2 * P.atm * L.f / 0.01 O.2o U 1 el - (* (* W.s r.O2 * - (V.f / A.p p.CO2 * P.atm * L.f / 0.01 CO.2o U 2 el - (* (* W.s r.CO2 * + (V.f / 41 mat :

IC 21 0.03 0 0.5 14 mat transpose :

β 41025^* : α 1 : 12 mat

sol IC 0100100 t U D dn_GearsBDF :

plot sol 1 col sol 2 col augment sol 1 col sol 3 col augment sol 1 col β sol 4 col (* augment sol 1 col α sol 5 col (* augment 41 sys :

plot

A.p p.CO2 * P.atm * L.f / 2.2531 1023 -^*

sol 1 col α sol 5 col ( * augment

commutative rkf4 algo "f" ... f(x,y) ... f(y,x) y0 x0 x1 n f rkf4 X 1 el x0 : Y 1 el y0 : Δ x1 x0 - n 1 - / : 13 mat i 2 n range k1 X i 1 - el Y i 1 - el f eval : k2 X i 1 - el Δ 2 / + Y i 1 - el k1 2 / Δ * + f eval : k3 X i 1 - el Δ 2 / + Y i 1 - el k2 2 / Δ * + f eval : k4 X i 1 - el Δ + Y i 1 - el k3 Δ * + f eval : Y i el Y i 1 - el k1 2 k2 * + 2 k3 * + k4 + 6 / Δ * + : X i el X i 1 - el Δ + : 61 line for X Y augment 31 line :

x y f V.mO2 x * K.mO2 1 y K.iO2 / + (x * + / E.O2 R / 1 T.s / 1 T.ref / - (* - exp * :

rkf_1 210100100 f rkf4 :

x y f V.mCO2 x * K.mCO2 1 y K.iCO2 / + (x * + / E.CO2 R / 1 T.s / 1 T.ref / - (* - exp * :

rkf_2 0.03 01001000 f rkf4 :

integral curve of

rkf_1 rkf_2 2 1 sys

both sanity checked
Mathcad, Mathematica 2 x * - y - # 1 x y 3 nthroot * - 13 mat

y0 1 : x0 0 : x1 5 : n 400 : 14 mat

x y f 1 x y 3 nthroot * - :

rkf y0 x0 x1 n f rkf4 :

integral curve of

rkf 2 1.5 2 0.5 2 2 mat 2 1 sys

1 x y 3 nthroot * -

<p> Finite differences ... ∫rkf </p>

data ∫ Finite diff's Cumul Integration vx data 1 col : vy data 2 col : 12 mat Y 1 el 0 : i 2 vx rows range Δx i el vx i el vx i 1 - el - : Y i el Y i 1 - el 12 / vy i 1 - el vy i el + (Δx i el * (* + : 21 line for vx Y augment 51 line :

data Deriv data Derivative BackSubstitution X data 1 col : Y data 2 col : 12 mat n X rows : deriv 1 el 0 : deriv n el 0 : i 2 n 1 - (range deriv i el 0.5 Y i 1 + el Y i el - X i 1 + el X i el - / Y i el Y i 1 - el - X i el X i 1 - el - / + (* : for deriv 1 el deriv 2 el : deriv n el deriv deriv rows el : X 5 deriv * augment 91 line :

y0 1.25 : x0 0 : x1 10 : n 200 : k 0.75 : 15 mat

Cauchy DE

This example seems to work as given.

It goes in pairs [k & y0] ... experiment ...

]]>

y0 1 : x0 0 : x1 16 : n 200 : k 0.75 : 15 mat

y0 1 : x0 0 : x1 4 : n 200 : k 0.0001 : 15 mat

x y f x 1 - k y * + (* y * x1 / :

rkf y0 x0 x1 n f rkf4 :

zoom blue trace
zoom red trace
shrink/expand blue 1 : red 1 : x1 31 sys

blue rkf * red rkf Deriv * 2 1 sys rkf ∫ rkf Deriv 2 1 sys