<content> d </content>

a8071713-c15d-4cbd-8f99-edd9e5eede6f 88 Вячеслав Мезенцев 4 5 false false false 0 3 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Derivative utility X\032E\ t\032E\ n\032E\ p\032E\ DIFF R\0324\ 0 : R\0324\ 0 : k\0324\ 0 : 13 mat x\0324\ X\032E\ str\0324\ diff(x\0324\ num2str, t\032E\ num2str, n\032E\ num2str) concat : R\0324\ k\0324\ k\0324\ 1 + : el str\0324\ str2num p\032E\ * : 21 line for k\0324\ 1 ≡ R\0324\ 1 el k\0324\ 0 : r\0324\ 1 X\032E\ rows range c\0324\ 1 X\032E\ cols range A\0324\ r\0324\ c\0324\ el R\0324\ k\0324\ k\0324\ 1 + : el : for for A\0324\ 31 line if 31 line :

d.Aux2 try to catch the differential variable and it's order. t\032E\ d.Aux2 U\0324\ t\032E\ Unknowns : R\0324\ 0 : 12 mat k\0324\ 1 : k\0324\ U\0324\ length ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : str\0324\ U\0324\ k\0324\ el num2str : Unknowns(dSymbol str\0324\) concat str2num num2str 0 ≡ 0 l\0324\ 05 range t\032E\ U\0324\ k\0324\ el l\0324\ 1 + 1 DIFF num2str 0 ≡ break continue if for p\0324\ dSymbol str\0324\ concat dSymbol dSymbol concat dSymbol strrep str2num : n\0324\ str\0324\ dSymbol findstr : (1 - ≡ (R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el 13 mat U\0324\ k\0324\ el l\0324\ p\0324\ 13 mat : m\0324\ str\0324\ 1 n\0324\ rows substr dSymbol findstr : (1 - ≡ R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el 13 mat U\0324\ k\0324\ el l\0324\ n\0324\ rows + 1 - p\0324\ 13 mat : R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el 13 mat U\0324\ k\0324\ el l\0324\ m\0324\ rows + 1 - p\0324\ 13 mat : if if 31 line if 21 line for R\0324\ 31 line :

∂(x,t) returns x'*∂t x\032E\ t\032E\ ∂ R\0324\ t\032E\ d.Aux2 : D\0324\ x\032E\ : 12 mat R\0324\ num2str 0 ≡ D\0324\ 0 : k\0324\ 1 R\0324\ rows range D\0324\ D\0324\ R\0324\ k\0324\ 1 el R\0324\ k\0324\ 2 el R\0324\ k\0324\ 3 el (R\0324\ k\0324\ 2 el^DIFF : 11 line for if D\0324\ num2str str2num 31 line :

d(x) returns the total differential of x x\032E\ d U\0324\ x\032E\ Unknowns : s\0324\ 0 : 12 mat k\0324\ 1 : k\0324\ U\0324\ length ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : s\0324\ s\0324\ x\032E\ U\0324\ k\0324\ el ∂ + : for s\0324\ num2str str2num 31 line :

<content> equrep </content>

\032E\a TrueQ \032E\a num2str 1 ≡ 11 line :

\032E\a FalseQ \032E\a num2str 0 ≡ 11 line :

\032E\a b\032E\ EqualQ \032E\a num2str b\032E\ num2str ≡ 11 line :

E\032E\ \032E\a b\032E\ EquRep equrep(E\032E\ num2str, \032E\a num2str, b\032E\ num2str) concat str2num 11 line :

E\032E\ \032E\a b\032E\ q\032E\ EquRep equrep(E\032E\ num2str, \032E\a num2str,if(TrueQ(q\032E\ num2str), b\032E\ num2str, a# num2str)) concat str2num 11 line :

EQ EQ EQ(a/b,z) EQ.B(a,b,z,a/b,z/a,z*b) 1 quotient 14 mat stack :

a#

b#

q#

E\032E\ Rules\032E\ EquRep ans\0324\ E\032E\ : n\0324\ 1 Rules\032E\ rows range ans\0324\ ans\0324\ Rules\032E\ n\0324\ 1 el Rules\032E\ n\0324\ 2 el EquRep : for ans\0324\ 31 line :

E\032E\ Rules\032E\ EquRepN ans\0324\ E\032E\ : N\0324\ 1 EquRepN range ans\0324\ ans\0324\ ans\0324\ Rules\032E\ EquRep : EqualQ break continue if 11 line for ans\0324\ 31 line :

E\032E\ equal2EQ ans\0324\ E\032E\ num2str : ans\0324\ ≡ findstr 1 - ≡ ans\0324\ ans\0324\ ≡0 concat : n\0324\ ans\0324\ ≡ findstr 1 el : 12 mat n\0324\ ans\0324\ ≡ findstr 1 el : if ans\0324\ 1 n\0324\ 1 - substr str2num ans\0324\ n\0324\ 1 + ans\0324\ strlen n\0324\ - substr str2num 12 mat 31 line :

E\032E\ x\032E\ depends E\032E\ x\032E\ x\032E\_DEPENDS.X# EquRep num2str x\032E\_DEPENDS.X# num2str findstr 1 - ≠ 11 line :

\032E\a b\032E\ x\032E\ depends \032E\a x\032E\ depends b\032E\ x\032E\ depends & 11 line :

E\032E\ x\032E\ DIFF diff(E\032E\ x\032E\_DIFF# EquRep num2str,_DIFF#) concat str2num_DIFF# x\032E\ EquRep 11 line :

E\032E\ x\032E\ n\032E\ DIFF diff(E\032E\ x\032E\_DIFF# EquRep num2str,_DIFF#, n\032E\ num2str) concat str2num_DIFF# x# EquRep 11 line :

EquRepN 20 :

EQ EQ(-a,b) EQ(a,0-b) 1 minus 14 mat :

EQ EQ EQ(a^b,z) EQ.B(a,b,z,a^b,ln(z)/ln(a),'sign*z^(1/b)) 1 power 14 mat stack :

Not usual but better EQ.B(a,b,z,a^b,ln(z)/ln(a),exp(ln(z)/b))

EQ EQ EQ(a/b,z) EQ.B(a,b,z,a/b,z/a,z*b) 1 quotient 14 mat stack :

EQ EQ EQ(a*b,z) EQ.B(a,b,z,a*b,z/a,z/b) 1 times 14 mat stack :

EQ EQ EQ(a+b,z) EQ.B(a,b,z,a+b,z-a,z-b) 1 plus 14 mat stack :

EQ EQ EQ(a,z) EQ.L(a,z) 1 lineal 14 mat stack :

EQ EQ EQ(x*(b+a*x),z) EQ.P2(a,b,x,z) 1 Poly2 14 mat stack :

EQA sin cos tan sec csc cot sinh cosh tanh sech csch coth exp_EQ#.10 erf asin acos atan asec acsc acot asinh acosh atanh asech acsch acoth ln log10 erfinv 215 mat transpose :

EQA rows 15

_k# 1 EQA rows range EQ EQ EQ(EQA_k# 1 el (a),b) concat EQ.A(a,b, EQA_k# 1 el (a), EQA_k# 2 el (b) concat 1 EQA_k# 1 el 14 mat stack : for

_k# 1 EQA rows range EQ EQ EQ(EQA_k# 2 el (a),b) concat EQ.A(a,b, EQA_k# 2 el (a), EQA_k# 1 el (b) concat 1 EQA_k# 2 el 14 mat stack : for

E\032E\ x\032E\ isolate a\0324\_EQ#.10 10 a\0324\^11 line : a\0324\ b\0324\ f\0324\ a\0324\ EQ.A a\0324\ x\032E\ depends a\0324\ a\0324\ EQ f\0324\ b\0324\ EQ if 11 line : a\0324\ b\0324\ z\0324\ f\0324\ a\0324\ j\0324\ EQ.B a\0324\ x\032E\ depends b\0324\ x\032E\ depends \0324\k f\0324\ x\032E\ 0 EquRep : f\0324\ \0324\k - z\0324\ \0324\k - EQ 21 line a\0324\ j\0324\ EQ if b\0324\ x\032E\ depends b\0324\ a\0324\ EQ z\0324\ f\0324\ EQ if if 11 line : a\0324\ z\0324\ EQ.L a\0324\ x\032E\ 2 DIFF FalseQ x\032E\ z\0324\ a\0324\ x\032E\ 0 EquRep - a\0324\ x\032E\ DIFF / EQ a\0324\ z\0324\ EQ if 11 line : a\0324\ b\0324\ \0324\X z\0324\ EQ.P2 \0324\X x\032E\ EqualQ a\0324\ b\0324\ x\032E\ depends ¬ (& a\0324\ \0324\X b\0324\ 2 a\0324\ * / + (2^* z\0324\ b\0324\ 2^4 a\0324\ * / + EQ \0324\X b\0324\ a\0324\ \0324\X * + (* z\0324\ EQ if 11 line : ans\0324\ E\032E\ equal2EQ : A\0324\ ans\0324\ 1 el numden : B\0324\ ans\0324\ 2 el numden : 13 mat ans\0324\ A\0324\ 1 el B\0324\ 2 el * A\0324\ 2 el B\0324\ 1 el * - 0 EQ EQ EquRepN : a\0324\ b\0324\ EQ a\0324\ b\0324\ ≡ (: ans\0324\ 91 line :

E\032E\ x\032E\ isol ans\0324\ E\032E\ x\032E\ isolate equal2EQ : ans\0324\ 1 el x\032E\ EqualQ ans\0324\ 2 el x\032E\ depends ¬ & ans\0324\ 2 el ans\0324\ 1 el ans\0324\ 2 el - if 21 line :

sign 1 :

<content> Simple utilities </content>

x# simp #ANS# x# #DUMMY# - #DUMMY# isol num2str eval : #ANS# str2num 21 line :

ad hoc simplify function

M# MCols C# 0 : k# 1 M# cols range C# 1 k# el M# k# col : for C# 31 line :

φ 03604 range ° * :

S φ sin vectorize :

C φ cos vectorize :

Lagrangian Dynamics

dSymbol ∂ :

<content> Spring Pendulum </content>

Spring Pendulum

Constants

∂m 0 :

∂a 0 :

∂g 0 :

Gen Coords

∂θ θ' ∂t * :

∂θ' θ'' ∂t * :

∂r r' ∂t * :

∂r' r'' ∂t * :

Position

x r θ cos * :

y r θ sin * - :

x' x d ∂t / simp :

y' y d ∂t / simp :

Lagrangian

ke 12 / m * x' 2^y' 2^+ (* :

pe m g * y * :

se 12 / k * r a - (2^* :

L ke pe - se + :

Equations of motion

θ'' 1 \2202\t / L θ' ∂ ∂θ' / d * L θ ∂ ∂θ / - θ'' isol :

r'' 1 \2202\t / L r' ∂ ∂r' / d * L r ∂ ∂r / - r'' isol :

θ'' θ sin θ cos r' * r θ sin * θ' * - (* - θ cos θ sin r' * r θ cos * θ' * + (* + θ' r * + (r' * - r g * θ cos * + r 2^/

r'' r a - (k * - m θ' θ sin θ cos r' * r θ sin * θ' * - (* - θ cos θ sin r' * r θ cos * θ' * + (* + (* g θ sin * + (* + m /

<content> Numeric example </content>

θ.0 60 ° * :

θ'.0 0 :

a 2 :

m 1 :

g 9.81 :

t.end 6 :

r.0 0.8 a * :

r'.0 0 :

k 100 :

N 300 :

n 10 N range + :

U θ.0 θ'.0 r.0 r'.0 stack 0 t.end N t u D θ θ' r r' 14 mat u 1 el u 2 el u 3 el u 4 el 14 mat : θ' θ'' r' r'' stack 21 line : Rkadapt :

T θ θ' r r' 15 mat U MCols :

X Y KE PE SE 15 mat x vectorize y vectorize ke vectorize pe vectorize se vectorize 15 mat :

Π T KE augment T PE augment T SE augment T KE PE + SE + augment 41 sys :

n Π 00 X n el Y n el 22 mat X n el Y n el . 15 black 15 mat X 1 n range el Y 1 n range el augment 31 sys :

n Π 1 1 line X Y augment

Alvaro

4 appVersion 1.73.9126.0