Метод Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага

c65db48c-4ae6-4fc4-9877-df75f633add4 36 Метод Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага Кирилл Николаев, Андрей Ивашов Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага. Пользователь определяет коэффициенты исходного дифференциального уравнения, задачу Коши, границы отрезка и точность работы метода. Программа преобразовывает коэффициенты уравнения к системе и проводит вычисления по методу Рунге-Кутта пятого порядка. При этом автоматически определяется оптимальный шаг работы алгоритма с учётом требуемой точности. После вычислений с помощью функций интерполяции кубическими сплайнами строятся графики численного решения. SMath, http://smath.info/ Примеры, Метод Рунге-Кутта, Дифференциальные уравнения, Графики Metode Runge–Kutta orde lima dengan langkah adaptif Kirill Nikolaev, Andrey Ivashov Waluyo Adi Siswanto Penyelesain persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge-Kutta dengan langkah adaptif. Pengguna perlu menyatakan koefisien dari persamaan asal, angka awal Cauchy (persoalan bilangan awal atau initial value problem), panjang langkah serta keakuratan perhitungan. Program akan merubah persmaan asal menjadi satu sistem persamaan simultan kemudian memulai evaluasi dengan metode Runge–Kutta orde lima. Algoritma secara otomatis memilih langkah optimal iterasi agar memperoleh keakuratan yang diinginkan. Setelah selesai perhitungan, program menggambarkan grafik penyelasaian numerik dari hasil interpolasi kubik data. SMath, http://smath.info/ Contoh, Metode Runge-Kutta, Persamaan diferensial, Grafik Fifth-order Runge–Kutta method with adaptive step Kirill Nikolaev, Andrey Ivashov Andrey Ivashov Solution of ordinary differential equations using Fifth-order Runge–Kutta method with adaptive step. User defines initial equation coefficients, a Cauchy problem (initial value problem), segment limits and calculations precision. Program converts equation to the system of equations and starts evaluation with the Fifth-order Runge–Kutta method. Algorithm automatically choose the optimal step of the iterations in respect to the specified accuracy. After calculations program represents the graphs of numeric solution using cubic splines interpolation. SMath, http://smath.info/ Examples, Runge-Kutta Method, Differential equations, Graphs 3 5 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Преобразование уравнения к системе уравнений

Merubah satu persamaan diferensial menjadi satu sistem persamaan

1. Converting the DE to the RK system of solutions

The source DE [homogeneous under forcing] t y t 2 diff 2 t y t diff * + 10 t y * + t sin ≡

Coefficients of the reduced homogeneous DE cf 1210 t sin - 14 mat :

Expected number of solutions [Equation power] n cf cols 2 - :

i 2 : i n ≤ i i 1 + : f i 1 - el x i el : B i el x n i - 2 + el : 21 line for

n 2

B 0 x 2 el 21 mat

Construct the D(t,x) 
RK solving argument. B n 1 + el x 1 el : B n 2 + el 1 : f n el cf B cf 11 el / * (11 el - : 31 line

'f' RK5  D(t,x)solving argument. f x 2 el 25 x 1 el * x 2 el + (* t sin - (- 21 mat

Метод Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага

Metode Runge-Kutta orde lima dengan langkah adaptif

2. Fifth-order Runge–Kutta method with adaptive step accuracy

<= conventionalise the RK solving argument t x D f :

Cauchy initial conditions
Y0, Y1 in Laplace solver x 1021 mat :

t 1 el 0 : (start point ≡ T 10 : (segment length ≡ 21 line

ε 107 -^: (accuracy ≡ h 0.05 : (step size ≡ 21 line

j t 1 el h + : j T t 1 el + h + ≤ j j h + : tx x x cols col : k1 h 3 / j tx D eval * : k2 h 3 / j h 3 / + tx k1 + D eval * : k3 h 3 / j h 3 / + tx k1 k2 + 2 / + D eval * : k4 h 3 / j h 2 / + tx 3 k1 * 9 k3 * + 8 / + D eval * : k5 h 3 / j h + tx 3 k1 * 9 k3 * - 2 / + 6 k4 * + D eval * : δ k1 92 / k3 * - 4 k4 * + 12 / k5 * - : δ min abs 5 ε * ≤ (δ max abs 5 ε * ≤ (& x x tx 12 / k1 4 k4 * + k5 + (* + augment : steps 1 x cols el j : h h 2 * : 31 line j j h - : h h 2 / : 21 line if 81 line for

result steps x stack :

Number of values result cols 215

Prepare/extract solutions

Y x # row transpose ≡ the Y collection ≡

X steps transpose : RK_1 X x 1 row transpose augment : RK_2 X x 2 row transpose augment : 31 line

result 0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 1 0.997 0.988 0.973 0.954 0.929 0.901 0.868 0 0.243 - 0.471 - 0.686 - 0.884 - 1.068 - 1.235 - 1.386 - 38 mat

Note that @ high accuracy [ε], the cspline is not needed for exporting the solution(s).

Discrete export the solutions.

RK_1 RK_2 2 1 sys

x sol_1 0 x ≤ (x T ≤ (& RK_1 1 col RK_1 2 col x cinterp out range if :

x sol_2 0 x ≤ (x T ≤ (& RK_2 1 col RK_2 2 col x cinterp out range if :

Fine meshing over the canvas plot.

x sol_1 x sol_2 2 1 sys

Laplace Analytic

ODE RungeKutta5 [Sanity Laplace]

Your next most interesting visit ... Laplace type [3] analytic

The source DE [homogeneous under forcing] t y t 2 diff 2 t y t diff * + 10 t y * + t sin ≡

RK_2 11 mat 00 0.025 0.243 - 0.05 0.471 - 0.075 0.686 - 0.1 0.884 - 0.125 1.068 - 0.15 1.235 - 0.175 1.386 - 0.2 1.52 - 0.225 1.638 - 0.25 1.74 - 0.275 1.826 - 0.3 1.895 - 0.325 1.949 - 0.35 1.989 - 0.375 2.013 - 0.4 2.024 - 0.425 2.021 - 0.45 2.005 - 0.475 1.977 - 0.5 1.938 - 0.525 1.889 - 0.55 1.83 - 0.575 1.763 - 0.6 1.687 - 0.625 1.604 - 0.65 1.515 - 0.675 1.421 - 0.7 1.322 - 0.725 1.219 - 0.75 1.114 - 0.775 1.006 - 0.8 0.898 - 0.825 0.788 - 0.85 0.679 - 0.875 0.571 - 0.9 0.463 - 0.95 0.255 - 1 0.06 - 1.05 0.12 1.1 0.281 1.15 0.42 1.2 0.538 1.25 0.632 1.3 0.703 1.35 0.751 1.4 0.777 1.45 0.782 1.5 0.768 1.55 0.738 1.6 0.693 1.65 0.635 1.7 0.568 1.75 0.493 1.8 0.413 1.85 0.33 1.9 0.246 1.95 0.164 2 0.085 2.05 0.01 2.1 0.06 - 2.15 0.122 - 2.2 0.177 - 2.25 0.224 - 2.3 0.263 - 2.35 0.294 - 2.4 0.316 - 2.45 0.331 - 2.5 0.338 - 2.55 0.339 - 2.6 0.333 - 2.65 0.323 - 2.7 0.307 - 2.75 0.288 - 2.8 0.267 - 2.85 0.243 - 2.9 0.218 - 2.95 0.193 - 3 0.167 - 3.05 0.143 - 3.1 0.12 - 3.15 0.098 - 3.2 0.079 - 3.25 0.062 - 3.3 0.048 - 3.35 0.036 - 3.4 0.026 - 3.45 0.019 - 3.5 0.015 - 3.55 0.013 - 3.6 0.013 - 3.65 0.014 - 3.7 0.018 - 3.75 0.022 - 3.8 0.027 - 3.85 0.033 - 3.9 0.04 - 3.95 0.046 - 4 0.052 - 4.05 0.058 - 4.1 0.063 - 4.15 0.068 - 4.2 0.072 - 4.25 0.074 - 4.3 0.076 - 4.35 0.077 - 4.4 0.076 - 4.45 0.074 - 4.5 0.071 - 4.55 0.067 - 4.6 0.063 - 4.65 0.057 - 4.7 0.05 - 4.75 0.043 - 4.8 0.035 - 4.85 0.027 - 4.9 0.019 - 4.95 0.01 - 5 0.001 - 5.05 0.007 5.1 0.016 5.15 0.024 5.2 0.033 5.25 0.04 5.3 0.048 5.35 0.055 5.4 0.061 5.45 0.068 5.5 0.073 5.55 0.078 5.6 0.083 5.65 0.087 5.7 0.09 5.75 0.094 5.8 0.096 5.85 0.099 5.9 0.101 5.95 0.102 6 0.104 6.05 0.105 6.1 0.106 6.15 0.106 6.2 0.107 6.25 0.107 6.3 0.107 6.35 0.107 6.4 0.106 6.5 0.109 6.6 0.111 6.65 0.109 6.7 0.106 6.75 0.104 6.8 0.101 6.85 0.098 6.9 0.095 6.95 0.092 7 0.089 7.05 0.085 7.1 0.082 7.15 0.078 7.2 0.075 7.25 0.071 7.3 0.068 7.35 0.064 7.4 0.06 7.45 0.056 7.5 0.052 7.55 0.047 7.6 0.043 7.65 0.038 7.7 0.034 7.75 0.029 7.8 0.024 7.85 0.019 7.9 0.014 7.95 0.009 8 0.004 8.05 0.002 - 8.1 0.007 - 8.15 0.012 - 8.2 0.018 - 8.25 0.023 - 8.3 0.028 - 8.35 0.033 - 8.4 0.039 - 8.45 0.044 - 8.5 0.049 - 8.55 0.054 - 8.6 0.058 - 8.65 0.063 - 8.7 0.068 - 8.75 0.072 - 8.8 0.076 - 8.85 0.08 - 8.9 0.084 - 8.95 0.087 - 9 0.09 - 9.05 0.093 - 9.1 0.096 - 9.15 0.099 - 9.2 0.101 - 9.25 0.103 - 9.3 0.104 - 9.35 0.106 - 9.4 0.107 - 9.45 0.108 - 9.5 0.108 - 9.55 0.109 - 9.65 0.113 - 9.75 0.115 - 9.85 0.114 - 9.9 0.111 - 9.95 0.107 - 10 0.103 - 10.05 0.099 - 2152 mat 11 mat