AXISIMETRÍA

6b47e344-0fc5-42e1-9eb3-aa1f23017e81 21 AXISIMETRÍA Hoja de cálculo académica - Modelos Computacionales de Estructuras 2 5 false false 1 decimal

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TEORÍA 7.2 FORMULACIÓN AXISIMÉTRICA

desplazamientos u u w 12 mat transpose ≡

fuerzas de cuerpo f f.r f.z 12 mat transpose ≡

fuerzas tractivas T T.r T.z 12 mat transpose ≡

deformaciones ε ε.r ε.z γ.rz ε.θ 14 mat transpose ≡

tensiones σ σ.r σ.z τ.rz σ.θ 14 mat transpose ≡

matriz del material D E 1 ν - (* 1 ν + (12 ν * - (* / 1 ν 1 ν - / 0 ν 1 ν - / ν 1 ν - / 10 ν 1 ν - / 0012 ν * - 21 ν - (* / 0 ν 1 ν - / ν 1 ν - / 0144 mat * ≡

relación 
tensión-deformación σ D ε * ≡

7.3 MEF: ELEMENTOS TRIANGULARES

desplazamientos nodales q q.1 q.2 q.3 q.4 q.5 q.6 16 mat transpose ≡

funciones de forma N N.1 0 N.2 0 N.3 00 N.1 0 N.2 0 N.3 26 mat ≡

desplazamiento del elemento u N q * ≡

deformaciones del elemento ε B q * ≡

Jacobiano J r.13 z.13 r.23 z.23 22 mat ≡

donde k.i.j = k.i - k.j

matriz deformación-desplazamiento B z.23 J det / 0 z.31 J det / 0 z.12 J det / 00 r.32 J det / 0 r.13 J det / 0 r.21 J det / r.32 J det / z.23 J det / r.13 J det / z.31 J det / r.21 J det / z.12 J det / N.1 r / 0 N.2 r / 0 N.3 r / 046 mat ≡

ENERGÍA POTENCIAL

consideraciones para el CST evaluado en el centroide N.1 13 / ≡ N.2 13 / ≡ N.3 13 / ≡ r Conjugate r.1 r.2 + r.3 + 3 / ≡ 41 sys

matriz de rigidez del elemento k.e 2 π * r Conjugate * A.e B Conjugate transpose * * D * B Conjugate * ≡

área del elemento A.e 12 / J det * ≡

FUERZA DE CUERPO

término de fuerzas de cuerpo q transpose f.e * f.e 2 π * r Conjugate * A.e * 3 / f.r Conjugate f.z Conjugate f.r Conjugate f.z Conjugate f.r Conjugate f.z Conjugate 16 mat transpose * ≡ 21 sys

FUERZA TRACTIVA

término de fuerzas de superficie
(formulado para nodos 1 y 2) q transpose f.e * q q.1 q.2 q.3 q.4 14 mat transpose ≡ T.e 2 π * l.1.2 * a T.r * a T.z * b T.r * b T.z * 14 mat transpose * ≡ a 2 r.1 * r.2 + 6 / ≡ b r.1 2 r.2 * + 6 / ≡ l.1.2 r.2 r.1 - (2^z.2 z.1 - (2^+ sqrt ≡ 61 sys

OBSERVACIONES

El nodo n está relacionado a las incógnitas 2*n-1 para el desplazamiento en r y 2*n para el desplazamiento en z.

La asignación de los tres nodos a un elemento triangular parte de cualquier nodo, pero siempre en sentido antihorario.

Los valores de δ.r y δ.z en "DATOS DE LOS NODOS" representan restricciones. Si se restringe el desplazamiento, entonces el valor es 1, si no, 0.

Para calcular las fuerzas nodales en "DATOS DE LOS NODOS" se puede utilizar el Ejemplo 7.1.

EJEMPLO 7.1

SOLUCIÓN

presión p 1.96 MPa * :

nodos n 1221 mat :

coordenadas r 707021 mat mm * : z 20021 mat mm * : 21 sys

signos de T en r y z s.r 1 : s.z 1 : 21 sys

l r 1 el r 2 el - (2^z 1 el z 2 el - (2^+ sqrt : mm 20

c z 2 el z 1 el - abs l / : s r 2 el r 1 el - abs l / : 21 sys 1021 sys

a 2 r 1 el * r 2 el + 6 / : b r 1 el 2 r 2 el * + 6 / : 21 sys

T.r s.r p * c * : T.z s.z p * s * : 21 sys MPa 1.9600 0.0000 21 sys

T 2 π * l * a T.r * a T.z * b T.r * b T.z * 14 mat transpose * :

resultados T N 8620.5302 0.0000 8620.5302 0.0000 41 mat

ensamblaje del vector de fuerzas sumar a los términos F. n 1 el 2 * 1 - num2str, F. n 1 el 2 * num2str, F. n 2 el 2 * 1 - num2str y F. n 2 el 2 * num2str respectivamente. concat sumar a los términos F.1, F.2, F.3 y F.4 respectivamente.

a b c s l p n r z T T.r T.z s.r s.z Clear 1

EJEMPLOS 7.2 y 7.3

SOLUCIÓN

MATERIAL E 2000 : ν 0.2 : 21 sys

TABLA DE CONECTIVIDAD C Elemento Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 1123213434 mat :

DATOS DE LOS NODOS N Nodo r z F.r F.z δ.r δ.z 140200011240000113700 8620.53 - 00147020 8620.53 - 00157 mat :

PROGRAMA FUNCIONES ELEMENTALES

convertir matriz a vector mat mat2vec i 1 mat length range ans i el mat i el : for ans 21 line :

eliminar fila mat r delrow m mat rows : n mat cols : M.1 r 1 ≡ 0 n matrix mat 1 r 1 - 1 n submatrix if : M.2 r m ≡ 0 n matrix mat r 1 + m 1 n submatrix if : M.1 M.2 stack 51 line :

eliminar columna mat c delcol m mat rows : n mat cols : M.1 c 1 ≡ m 0 matrix mat 1 m 1 c 1 - submatrix if : M.2 c n ≡ m 0 matrix mat 1 m c 1 + n submatrix if : M.1 M.2 augment 51 line :

eliminar fila y columna mat rc delrc M.1 mat rc delrow : M.2 M.1 rc delcol : 21 line :

eliminar conjunto de filas y columnas mat src delsrc tmp mat : i 1 src length range tmp tmp src i el i 1 - (- delrc : for tmp 31 line :

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

matriz del material D E 1 ν - (* 1 ν + (12 ν * - (* / 1 ν 1 ν - / 0 ν 1 ν - / ν 1 ν - / 10 ν 1 ν - / 0012 ν * - 21 ν - (* / 0 ν 1 ν - / ν 1 ν - / 0144 mat * :

coordenadas r N 2 N rows range 2 el : z N 2 N rows range 3 el : 21 sys

número de elementos nel C rows 1 - :

número de incógnitas n.i 2 r length * :

vector de restricciones R N 2 N rows range 67 range el mat2vec :

incógnitas asociadas a cada elemento el 1 nel range nd C el num2str 1 findrows 24 range el : j 13 range in 2 j * 1 - el 2 nd j el * 1 - : in 2 j * el 2 nd j el * : 21 line for p el el in : 31 line for 11 line

conjunto de filas y columnas a reducir src 01 matrix : snrc 01 matrix : i 1 n.i range R i el src src i stack : snrc snrc i stack : if for 31 line

matrices de rigidez de los elementos k i j kij k i el k j el - : el 1 nel range nd C el num2str 1 findrows 24 range el : r' el el r nd 1 el el r nd 2 el el + r nd 3 el el + 3 / : z.23 z nd 2 el nd 3 el kij : z.31 z nd 3 el nd 1 el kij : z.12 z nd 1 el nd 2 el kij : z.13 z nd 1 el nd 3 el kij : r.32 r nd 3 el nd 2 el kij : r.13 r nd 1 el nd 3 el kij : r.21 r nd 2 el nd 1 el kij : r.23 r nd 2 el nd 3 el kij : J r.13 z.13 r.23 z.23 22 mat : A.e el el 12 / J det * : N.1 13 / : N.2 13 / : N.3 13 / : 13 mat B' el el z.23 J det / 0 z.31 J det / 0 z.12 J det / 00 r.32 J det / 0 r.13 J det / 0 r.21 J det / r.32 J det / z.23 J det / r.13 J det / z.31 J det / r.21 J det / z.12 J det / N.1 r' el el / 0 N.2 r' el el / 0 N.3 r' el el / 046 mat : k.e el el 2 π * r' el el * A.e el el * B' el el transpose * D * B' el el * : 151 line for 21 line

matriz de rigidez global K n.i n.i el 0 : el 12 range i 16 range j 16 range K p el el (i el p el el (j el el K p el el (i el p el el (j el el k.e el el (i j el + : for for for 21 line

matriz de rigidez reducida K.r K src delsrc :

cargas F N 2 N rows range 45 range el mat2vec : F.r F snrc el : 21 line

desplazamientos Q.r K.r 1 -^F.r * : Q n.i el 0 : j 0 : i snrc j j 1 + : Q i el Q.r j el : 21 line for 41 line

desplazamientos y tensiones
(para los elementos) el 1 nel range q el el Q p el el el : σ el el D B' el el * q el el * : 21 line for 11 line

matriz del material D 105^0.022 0.006 0 0.006 0.006 0.022 0 0.006 00 0.008 0 0.006 0.006 0 0.022 44 mat

matrices deformación-desplazamiento B' 102 -^00 3.3333 - 0 3.3333 00505 - 00505 - 3.3333 - 0 3.3333 0.6667 0 0.6667 0 0.6667 046 mat 3.3333 - 000 3.3333 00005 - 050 3.3333 - 5 - 05 3.3333 0.5556 0 0.5556 0 0.5556 046 mat 21 mat

matrices de rigidez de los elementos k.e 105^2.0566 0.1745 1.9868 - 1.4835 - 0.2094 1.309 0.1745 5.236 0.6981 - 5.236 - 1.0472 0 1.9868 - 0.6981 - 4.151 2.0071 2.234 - 1.309 - 1.4835 - 5.236 - 2.0071 6.1087 1.0472 - 0.8727 - 0.2094 1.0472 2.234 - 1.0472 - 2.6529 0 1.309 0 1.309 - 0.8727 - 0 0.8727 66 mat 2.6374 0 0.0388 - 0.8727 2.715 - 0.8727 - 0 1.0472 1.5708 0 1.5708 - 1.0472 - 0.0388 - 1.5708 2.4338 0.1745 - 2.1623 - 1.3963 - 0.8727 0 0.1745 - 6.2832 1.2217 - 6.2832 - 2.715 - 1.5708 - 2.1623 - 1.2217 - 5.459 2.7925 0.8727 - 1.0472 - 1.3963 - 6.2832 - 2.7925 7.3304 66 mat 21 mat

áreas A.e 30030021 mat

radios al centroide r' 506021 mat

matriz de rigidez global K 107^0.047 0.002 0.02 - 0.015 - 0.002 0.022 0.027 - 0.009 - 0.002 0.063 0.007 - 0.052 - 0.026 0 0.016 - 0.01 - 0.02 - 0.007 - 0.042 0.02 0.022 - 0.013 - 00 0.015 - 0.052 - 0.02 0.061 0.01 - 0.009 - 00 0.002 0.026 0.022 - 0.01 - 0.051 0.002 - 0.022 - 0.014 - 0.022 0 0.013 - 0.009 - 0.002 - 0.072 0.012 - 0.063 - 0.027 - 0.016 - 00 0.022 - 0.012 - 0.055 0.028 0.009 - 0.01 - 00 0.014 - 0.063 - 0.028 0.073 88 mat

matriz de rigidez reducida K.r 107^0.051 0.022 - 0.022 - 0.055 22 mat

F global F 00008621 - 08621 - 081 mat

F reducido F.r 8621 - 8621 - 21 mat

Q global Q 102 -^0000 2.84502777 - 0 2.70603405 - 081 mat

Q reducido Q.r 102 -^2.84502777 - 2.70603405 - 21 mat

fuerzas externas K Q * 6861.2485 3197.6369 - 6355.853 2979.3061 8620.53 - 3802.5953 8620.53 - 3584.2645 - 81 mat

desplazamientos para cada elemento q transpose 102 -^0000 2.845 - 061 mat 00 2.845 - 0 2.706 - 061 mat 12 mat

tensiones para cada elemento σ transpose 102 -^221.2799 - 63.2228 - 0 94.8343 - 41 mat 217.5799 - 67.2446 - 5.7914 118.6434 - 41 mat 12 mat

Hoja de cálculo : 08-AXISIMETRÍA.sm Autor : Alvaro Gavilán Rojas Versión : 1.0.1 Revisión : 19-11-2020

Fecha : \[DATE[DD\002D\MM\002D\YYYY]]\ Hora : \[TIME[HH\003A\mm\003A\ss]]\

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