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UN POLIGONO

A POLYGON

Un poligono è una catena chiusa di segmenti (i lati del poligono); i punti dove due lati si incontrano sono i vertici del poligono.

A polygon is a closed chain of straight lines (the polygon sides); the points where two sides meet are the polygon's vertices.

In questo foglio di lavoro SMath Studio: - un poligono è definito attraverso i suoi vertici; - la definizione dei vertici può essere ordinata in senso orario o antiorario; - il primo e l'ultimo vertice devono coincidere; - i punti di intersezione devono avere numerazione multipla.

In this SMath Studio worksheet: - a polygon is defined by it's vertices; - definition of vertices can be either clockwise or anticlockwise; - last vertex must be equal to the first; - intersections points must be numered twice.

POLIGONI (aree discontinue)

POLYGONS (discontinuous areas)

per disegnare poligoni multipli: - ordina i vertici di tutti i poligoni utilizzando lo stesso verso; - chiudi ciascun poligono; - ricorda che la catena di vertici deve chiudersi nel punto di partenza.

To have multiple polygons: - draw all the vertices having same wise; - close each polygon; - don't forget to close the vertices chain in the first vertex.

NOTA: - il calcolo del perimetro taglia via i tratti sovrapposti con verso opposto.

NOTE: - perimeter calculation cut off overlapped sides with opposite wise.

POLIGONI (aree sovrapposte)

POLYGONS (overlapped areas)

Utilizzando poligoni multipli pui ottenere poligoni sovrapposti; come sopra: - ordina i vertici di tutti i poligoni utilizzando lo stesso verso; - chiudi ciascun poligono; - ricorda che la catena di vertici deve chiudersi nel punto di partenza.

With multiple polygons you can draw overlapped areas; like above: - draw all the vertices having same wise; - close each polygon; - don't forget to close the vertices chain in the first vertex.

UN POLIGONO CAVO

A HOLLOW POLYGON

Per avere un poligono cavo, disegna i vertici dei "due" perimetri in senso opposto; ricorda che la catena dei vertici deve chiudersi nel punto di partenza!

To have a hollow polygon, draw the internal and the external vertices with opposite wise; don't forget to close the vertices chain in the first vertex!

LATI CURVI

CURVED SIDES

Utilizzando una approssimazione adeguata si possono disegnare lati curvi (e di conseguenza figure generiche).

Using an adequate approximation you can draw curved sides (and therefore generic figures).

SCORCIATOIE

SHORTCUTS

Risparmia tempo: usa le "SHORTCUTS" per disegnare le figure più comuni e per le operazioni di trasformazione (ruota, scala, trasla, ecc...). Sulla destra dell'area "GEOMETRIA" c'è una lista competa delle "SHORTCUTS" disponibili.

Save time: use "SHORTCUTS" to draw common shapes and to make transformations (rotate, scale, translate, etc...) On the right of the GEOMETRY area there is a complete list of all available SHORTCUTS

TRASFORMAZIONI

TRANSFORMATIONS

POLIGONI

POLYGONS

una buona approssimazione con il cerchio si può ottenere con 100 lati

a good circle approximation can be obtained with 100 sides

i poligoni cavi si ottengono facendo ruotare i vertici dei "due" perimetri in senso opposto (il perimetro è uno deve comunque chiudersi nel punto di partenza)

to have a hollow polygon, draw the internal and the external vertices with opposite wise (remember to close the line in the first vertex)

se i vertici ruotano nello stesso verso si ottiene l'equivalente di poligoni sovrapposti; può essere utile per elementi con densità/moduli elastici differenti

to have multiple/overlapped polygons, draw all the vertices having same wise (remember to close the line in the first vertex)

quando r=0, si ottiene un profilo a I a spigoli vivi

when r=0, becomes an I shape with sharp edges

quando r2=0, si ottiene un profilo a U ad ali parallele NOTA: non usare unità in questa funzione!

when r2=0, becomes a Parallel Flange Channels NOTE: Don't use units inside this function!

PSEUDONIMI

PSEUDONYMS

SHORTCUTS: - Rot(θ) matrice di rotazione - Ref(θ) matrice di riflessione - S.c(...) matrice di scala - S.h(...) matrice di stiramento - Translate(...) traslazione di poligono - Rotate(...) rotazione di un poligono - Scale(...) scalamento di un poligono - Shear(...) stiramento di un poligono - Mirror(...) specchia un poligono - chunk(...) porzione di un poligono - pgon(...) poligoni regolari convessi - hPgon(...) poligoni regolari convessi cavi - oPgon(...) poligoni regolari convessi sovrapposti - sPgon(...) poligoni stella - esPgon(...) contorno di poligoni stella - ssPgon(...) poligoni a forma di stella - triangle(...) triangolo (generico) - rTriangle(...) triangolo rettangolo - iTriangle(...) triangolo isoscele - eTriangle(...) triangolo equilatero - rhombus(...) rombo - square(...) quadrato - rectangle(...) rettangolo - goldenRect(...) rettangolo aureo - roundedRect(...) rettangolo a spigoli arrotondati - parallelogram(...) parallelogramma - trapezoid(...) trapezio - rTrapezoid(...) trapezio rettangolo - iTrapezoid(...) trapezio isoscele - L(...) sezione a L - T(...) sezione a T - circle(...) cerchio - semicircle(...) semicerchio - arch(...) porzione di arco - ellipse(...) ellisse - HSS.beam(..) sezioni cave strutturali - CHS.beam(...) sezione circolare cava [ring(...)] - EHS.beam(...) sezione ellittica cava - I.beam(...) profilo europeo ad I (o equivalente) - L.beam(...) angolari europei a lati (dis)uguali - U.beam(...) profilo europeo ad U ad ali inclinate o parallele (o equivalente)

SHORTCUTS: - Rot(θ) rotation matrix - Ref(θ) reflection matrix - S.c(...) scaling matrix - S.h(...) shearing matrix - Translate(...) translating a polygon - Rotate(...) rotating a polygon - Scale(...) scaling a polygon - Shear(...) shearing a polygon - Mirror(...) mirroring a polygon - chunk(...) chunk of polygon - pgon(...) convex regular polygons - hPgon(...) hollow convex regular polygons - oPgon(...) overlapped convex regular polygons - sPgon(...) star polygons - esPgon(...) edge of star polygons - ssPgon(...) star-shaped polygons - triangle(...) triangle (generic) - rTriangle(...) right triangle - iTriangle(...) isosceles triangle - eTriangle(...) equilateral triangle - rhombus(...) rhombus - square(...) square - rectangle(...) rectangle - goldenRect(...) golden rectangle - roundedRect(...) rounded rectangle - parallelogram(...) parallelogram - trapezoid(...) trapezoid - rTrapezoid(...) right trapezoid - iTrapezoid(...) isosceles trapezoid - L(...) L shape - T(...) T shape - circle(...) circle - semicircle(...) semicircle - arch(...) segmental arch - ellipse(...) ellipse - HSS.beam(..) Hollow Structural Sections - CHS.beam(...) Circular Hollow Sections [ring(...)] - EHS.beam(...) Elliptical Hollow Sections - I.beam(...) european I-beam (or similar) - L.beam(...) european (un)equal legs angles - U.beam(...) european U-beam or parallel flange channels (PFC)

GEOMETRIA

GEOMETRY

Convenzione degli assi

Axes conventions

BARICENTRO

CENTROID

ASSI NEUTRI PLASTICI

PLASTIC NEUTRAL AXES

NUMERAZIONE DEI VERTICI

VERTICES NUMBERING

coordinate

coordinates

vertici (+1)

vertices (+1)

perimetro

perimeter

PUOI DISABILITARE IL "calcolo lunghezza totale dei tratti di perimetro sovrapposti in direzione discorde" PER VELOCIZZARE IL FOGLIO DI CALCOLO SE NON SI USANO POLIGONI CON AREE DISCONTINUE

YOU CAN DISABLE THE "total length of overlapped segments with opposite wise" TO SPEED UP THE SHEET IF YOU DON'T USE POLIGONS WITH DISCONTINUOUS AREAS

area

area

baricentro

centroid

BARICENTRO (WIKIPEDIA-EN): In queste formule, i vertici sono assunti numerati in ordine di comparsa lungo il perimetro del poligono, ed il vertice finale ( xn, yn ) è assunto uguale al vertice iniziale ( x0, y0 ). Nota che se i punti sono numerati in senso orario, l'area A, calcolata come sopra, avrà segno negativo; le coordinate del baricentro saranno comunque corrette.

CENTROID (WIKIPEDIA): In these formulas, the vertices are assumed to be numbered in order of their occurrence along the polygon's perimeter, and the vertex ( xn, yn ) is assumed to be the same as ( x0, y0 ). Note that if the points are numbered in clockwise order the area A, computed as above, will have a negative sign; but the centroid coordinates will be correct even in this case.

un modo più compatto di scrivere queste formule (con il determinante):

a more compact way to write these formulas:

usa il barcentro come origine

use centroid as origin

momenti di inerzia (vale per ogni sezione trasversale)

second moments of area (any cross section allowed)

MOMENTO DI INERZIA (WIKIPEDIA-EN): Queste formule implicano che i punti che definiscono il poligono siano ordinati in senso antiorario; per poligoni definiti in senso orario restituisce valori negativi.

SECOND MOMENT OF AREA (WIKIPEDIA): These formulae imply that points defining the polygon are ordered in anticlockwise manner; for clockwisely defined polygons it will give negative values.

correzioni dell'output per la definizione oraria o antioraria dei vertici

output adjustements due to clockwise/anticlockwise vertices definition

raggi giratori di inerzia

radii of gyration

moduli di resistenza elastici

elastic section modulus

orientamento degli assi principali di inerzia

orientation of principal axes of inertia (u,v)

momenti principali di inerzia

principal moments of inertia

raggi giratori di inerzia per gli assi principali di inerzia

radii of gyration about principal axes of inertia

figura con il baricentro come origine

plot with centroid as origin

ellisse centrale di inerzia

ellipsoid of gyration

numerazione dei vertici

vertices numbering

posizione dell'asse neutro plastico

plastic neutral axis position

posizione lungo x dell'asse neutro plastico

PNA x-position

posizione lungo y dell'asse neutro plastico

PNA y-position

figura con il baricentro come origine

plastic section modulus

assi neutri plastici (riferiti alle coordinate globali x,y)

plastic neutral axes (relative to global coordinates x,y)

assi neutri plastici (riferiti al baricentro)

plastic neutral axes (relative to centroid)