Euler(init,tspan,n,f)

dbc0dfeb-4604-4191-b7b6-e58a229f2397 24 4 5 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

init tspan n f Euler a tspan 1 el : b tspan 2 el : 12 mat h b a - (n / : t 1 el a : x 11 el init : i 1 n range t i 1 + el t i el h + : k h x 1 i el f * : x 1 i 1 + (el x 1 i el k + : 31 line for Unest x transpose ≡ data x transpose : S data 1 el : j 2 data rows range S S data j el stack : for V t S augment (: j 2 V cols range sol j 1 - el V 1 col V j col augment : for sol 121 line :

k1 10.052 : k2 14.836 : k3 4.982 : 13 mat

ω f k1 ω 1 el * - k1 ω 1 el * k2 ω 2 el * - k3 ω 3 el * + k2 ω 2 el * k3 ω 3 el * - 31 mat :

init tspan n f Euler

t0 1 time :

Sol 10031 mat 0121 mat 50 f Euler :

Sol 1 el Sol 2 el Sol 3 el 31 sys

Sol 1 el Sol 2 el Sol 3 el 3 1 sys

1 time t0 - 1 s *

Euler algo style:

Providing the vector of the DE system does not

involve the variable of integration (t), Euler can be

defined wrt predefined f algo. Plot the respective

indexed solutions, as exemplified in the demos.

]]>

x f x 2 el 1 x 1 el (2^- (x 2 el * x 1 el - 21 mat :

Sol 2.1 021 mat 0 6.88 21 mat 200 f Euler :

x y axes x y / - :

VanDerPol Sol 1 el 2 col Sol 2 el 2 col augment :

Sol 1 el Sol 2 el 2 1 sys VanDerPol VanDerPol axes 2 1 sys

12 / y''' * - 14 / y'' * + y' - y + 0 ≡ homogeneous & linear ≡

0 y 0 y' 0 y'' 31 mat 212 - 031 mat ≡

IC 212 - 031 mat :

t Y fnct Y 2 el Y 3 el 214 / Y 3 el * - Y 2 el + Y 1 el - (* - 31 mat :

soldemo IC 06100 t U fnct rkfixed : (collect/export the solved DE ≡

X soldemo 1 col : discretised variable of integration ≡ soldemo_1 X soldemo 2 col augment : function ≡ soldemo_2 X soldemo 3 col augment : 1rst derivative ≡ soldemo_3 X soldemo 4 col augment : 2nd derivative ≡ 41 line

soldemo_1 soldemo_2 soldemo_3 3 1 sys

Y f Y 2 el Y 3 el 214 / Y 3 el * - Y 2 el + Y 1 el - (* - 31 mat :

Sol IC 0621 mat 100 f Euler :

plot Sol 1 el Sol 2 el Sol 3 el 31 sys :

plot

Fehlberg Integral Curve @ point(s)

y x diff x y f ≡

x y f 2 x * - y - :

x exact 3 x - exp * - 2 x * - 2 + :

n 50 :

xstart 0 : xend 1 : 21 line

y0 1 - : yalt y0 1 - : 21 line

h xend xstart - n / : 0.02

j 13 :

h j h * : 0.26

x xstart 0 (+ : y y0 0 (+ : 21 line

rkf45 Compactum

fhelberg companion in compactum format given as point compute/integrate x y h fehlberg k1 h x y f (* eval : k2 h x 14 / h * + y 14 / k1 * + f * eval : k3 h x 38 / h * + y 332 / k1 * + 932 / k2 * + f * eval : k4 h x 1213 / h * + y 19322197 / k1 * + 72002197 / k2 * - 72962197 / k3 * + f * eval : k5 h x h + y 439216 / k1 * + 8 k2 * - 3680513 / k3 * + 8454104 / k4 * - f * eval : k6 h x h 2 / + y 827 / k1 * - 2 k2 * + 35442565 / k3 * - 18594104 / k4 * + 1140 / k5 * - f * eval : out x h + y 25216 / k1 * 14082565 / k3 * + 21974104 / k4 * + k5 5 / - (+ y 16135 / k1 * 665612825 / k3 * + 2856156430 / k4 * + 950 / k5 * - 255 / k6 * + (+ k1 360 / 1284275 / k3 * - 219775240 / k4 * - k5 50 / + 255 / k6 * + 41 mat : 71 line :

k1 h x y f (* eval : k2 h x 14 / h * + y 14 / k1 * + f * eval : k3 h x 38 / h * + y 332 / k1 * + 932 / k2 * + f * eval : k4 h x 1213 / h * + y 19322197 / k1 * + 72002197 / k2 * - 72962197 / k3 * + f * eval : k5 h x h + y 439216 / k1 * + 8 k2 * - 3680513 / k3 * + 8454104 / k4 * - f * eval : k6 h x h 2 / + y 827 / k1 * - 2 k2 * + 35442565 / k3 * - 18594104 / k4 * + 1140 / k5 * - f * eval : 61 line

out x h + y 25216 / k1 * 14082565 / k3 * + 21974104 / k4 * + k5 5 / - (+ eval y 16135 / k1 * 665612825 / k3 * + 2856156430 / k4 * + 950 / k5 * - 255 / k6 * + (+ eval k1 360 / 1284275 / k3 * - 219775240 / k4 * - k5 50 / + 255 / k6 * + eval 41 mat :

out 0.26 0.8331489468 - 0.833153962112 - 5.0153116 106 -^* - 41 mat

k1 k2 k3 k4 k5 k6 61 mat x y h fehlberg 12 mat 0.26 0.2093 0.187657 0.092063 0.07768 0.165719 61 mat 0.26 0.833149 - 0.833154 - 5.015312 106 -^* - 41 mat 12 mat

0.16 0.1408 0.132064 0.093883736440601 0.088509676307692 0.123214481880615 61 mat 0.16 0.876430895262 - 0.876431322758 - 0.000000427496 - 41 mat 12 mat

0.52 0.3172 0.2454595 0.10030592 - 0.177166912 - 0.174478001984 61 mat 0.52 0.8233387776 - 0.823513525222 - 0.000174747622 - 41 mat 12 mat

1 0.25 0.0859375 1.19162494310423 - 1.89423076923077 - 0.066105769230771 - 61 mat 1 1.096153846154 - 1.101442307692 - 0.005288461538 - 41 mat 12 mat

Fehlberg components RKF45 x+h Global estimate RK order 4 Global estimate RK order 5 Error estimate 41 mat ≡

Integrate @ 'j' explorer x y h fehlberg 0.26 0.833149 - 0.833154 - 5.015312 106 -^* - 41 mat

Integrate/collect/mesh 'n'

n 25 :

RKF45 j 1 n 1 + (range h j el 1 - j + n / : for sol will be nested colwise j 1 h rows range sol 1 j el x y h j el fehlberg : for Unest sol U sol 1 el : j 2 sol cols range U U sol j el augment : for U transpose 71 line :

plotG(vx,vy,a,b,c)

vx vy a b c plotG a char ≡ b size ≡ c color ≡ 13 mat n vx length : plot vx 1 el vy 1 el a b c augment : i 2 n range plot plot vx i el vy i el a b c augment stack : for plot 51 line :

X RKF45 1 col : (collect the variate 'x' ≡ Y RKF45 3 col : (Fehlberg collect solution ≡ XY X Y augment : (export data solution ≡ 31 line

The code sources agree: Mathematica & Mathcad 11 Smath as well .

RKF45 rows 26

X Y . 12 black plotG x exact 2 1 sys

RKF45 11 mat 01 - 1 - 0 0.04 0.9624 - 0.9624 - 0 0.08 0.9293 - 0.9293 - 0 0.12 0.9008 - 0.9008 - 0 0.16 0.8764 - 0.8764 - 0 0.2 0.8562 - 0.8562 - 0 0.24 0.8399 - 0.8399 - 0 0.28 0.8273 - 0.8273 - 0 0.32 0.8184 - 0.8184 - 0 0.36 0.813 - 0.813 - 0 0.4 0.8109 - 0.8109 - 0 0.44 0.812 - 0.8121 - 0.0001 - 0.48 0.8162 - 0.8163 - 0.0001 - 0.52 0.8233 - 0.8235 - 0.0002 - 0.56 0.8333 - 0.8336 - 0.0003 - 0.6 0.846 - 0.8463 - 0.0004 - 0.64 0.8612 - 0.8617 - 0.0005 - 0.68 0.8789 - 0.8796 - 0.0007 - 0.72 0.899 - 0.8999 - 0.0009 - 0.76 0.9213 - 0.9226 - 0.0013 - 0.8 0.9457 - 0.9474 - 0.0016 - 0.84 0.9722 - 0.9743 - 0.0021 - 0.88 1.0006 - 1.0033 - 0.0027 - 0.92 1.0308 - 1.0342 - 0.0034 - 0.96 1.0627 - 1.0669 - 0.0043 - 1 1.0962 - 1.1014 - 0.0053 - 264 mat 11 mat

1.101442 - 1.103638 - 21 mat

Balistic accuracy test x y 1 fehlberg 3 el 1 exact 21 mat 1.101442 - 1.103638 - 21 mat

Δ 1 exact x y 1 fehlberg 3 el - : 0.002196 -

Uses the Runge-Kutta-Fehlberg Method RKF45. IC tstart tend N t Y D Rkadapt

x y f 2 x * - y - :

t Y D 2 t * - Y 1 el - :

can't use D(t,Y) 'Y' is an existing vector
just renamed arguments of   D(t,dummy) adapt 1 - 01100 t dummy D Rkadapt :

adapt X Y . 12 black plotG 2 1 sys

Gears 1 - 01100 t dummy D dn_GearsBDF :

fixed 1 - 01100 t dummy D rkfixed :

1 exact adapt adapt rows row Gears Gears rows row fixed fixed rows row 41 mat 1.10363832351433 - 1 1.10363832351431 - 12 mat 1 1.10381207518406 - 12 mat 1 1.09730658258777 - 12 mat 41 mat

Two NOT fixed steps precursors DE solvers: Not accurate, interesting algo style. Convergence depends upon 'n'.

y0 x0 x1 n f Euler X 1 el x0 : Y 1 el y0 : Δ x1 x0 - n / : 13 mat i 2 n range Y i el Y i 1 - el X i 1 - el Y i 1 - el f Δ * + eval : X i el X i 1 - el Δ + : 21 line for X Y augment 31 line :

y0 x0 x1 n f rkf4 X 1 el x0 : Y 1 el y0 : Δ x1 x0 - n / : 13 mat i 2 n range k1 X i 1 - el Y i 1 - el f eval : k2 X i 1 - el Δ 2 / + Y i 1 - el k1 2 / Δ * + f eval : k3 X i 1 - el Δ 2 / + Y i 1 - el k2 2 / Δ * + f eval : k4 X i 1 - el Δ + Y i 1 - el k3 Δ * + f eval : Y i el Y i 1 - el k1 2 k2 * + 2 k3 * + k4 + 6 / Δ * + : X i el X i 1 - el Δ + : 61 line for X Y augment 31 line :

x0 0 : x1 1 : y0 1 - : n 401 : 41 line

x y f 2 x * - y - :

euler y0 x0 x1 n f Euler :

rkf y0 x0 x1 n f rkf4 :

Euler & rkf4 2 variables integrators. "Integrators" in the sense of 'Integral Curve'

euler rkf 2 1 sys

euler euler rows row rkf rkf rows row 21 mat 0.9975 1.1 - 12 mat 0.9975 1.1014 - 12 mat 21 mat