<content> isol </content>

6e991207-9dab-41ee-93de-f646b41ca760 9 Alvaro Diaz Falconi 4 5 false false 0 0 decimal <content> isol </content> <content> equrep </content>

f.feval# x.feval# feval f.feval# num2str (x.feval# num2str) concat str2num 11 line :

ffeval xfeval yfeval feval ffeval num2str (xfeval num2str, yfeval num2str) concat str2num 11 line :

E\032E\ a\032E\ b\032E\ EquRep equrep(E\032E\ num2str, a\032E\ num2str, b\032E\ num2str) concat str2num 11 line :

E\032E\ a\032E\ b\032E\ q\032E\ EquRep q\032E\ 1 EqualQ E\032E\ a\032E\ b\032E\ EquRep sa\0324\ a\032E\ num2str : sq\0324\ q\032E\ num2str : 12 mat str\0324\ equrep(E\032E\ num2str, sa\0324\, concat : sq\0324\ strlen 9 > (sq\0324\ 19 substr Assuming(≡ (& str\0324\ str\0324\ sq\0324\ 1 sq\0324\ strlen 1 - substr concat : str\0324\ str\0324\, b\032E\ num2str,_sa\0324\ concat : 21 line str\0324\ str\0324\ if(sq\0324\, b\032E\ num2str, sa\0324\ concat : if str\0324\)) concat str2num 41 line if 11 line :

E\032E\ Rules\032E\ EquRep ans\0324\ E\032E\ : Rules\032E\ cols 3 < n\0324\ 1 Rules\032E\ rows range ans\0324\ ans\0324\ Rules\032E\ n\0324\ 1 el Rules\032E\ n\0324\ 2 el EquRep : for n\0324\ 1 Rules\032E\ rows range ans\0324\ ans\0324\ Rules\032E\ n\0324\ 1 el Rules\032E\ n\0324\ 2 el Rules\032E\ n\0324\ 3 el EquRep : for if ans\0324\ 31 line :

E\032E\ Rules\032E\ EquRepN ans\0324\ E\032E\ : N\0324\ 1 EquRepN range ans\0324\ num2str ans\0324\ ans\0324\ Rules\032E\ EquRep : num2str ≡ break continue if 11 line for ans\0324\ 31 line :

EquRepN 20 :

a\032E\ b\032E\ EqualQ assume IsDefined a\032E\ num2str b\032E\ num2str ≡ a\032E\ num2str b\032E\ num2str ≡ if 11 line :

EQ\032E\ equal2EQ ans\0324\ EQ\032E\ num2str : ans\0324\ ≡ findstr 1 - ≡ ans\0324\ ans\0324\ ≡0 concat : n\0324\ ans\0324\ ≡ findstr 1 el : 12 mat n\0324\ ans\0324\ ≡ findstr 1 el : if ans\0324\ 1 n\0324\ 1 - substr str2num ans\0324\ n\0324\ 1 + ans\0324\ strlen n\0324\ - substr str2num 12 mat 31 line :

S\032E\ Sys2EQ S\0324\ 0 : k\0324\ 0 : 12 mat s\0324\ S\032E\ sys2mat.1 s\0324\ s\0324\ equal2EQ : S\0324\ k\0324\ k\0324\ 1 + : el s\0324\ 1 el s\0324\ 2 el - : 21 line for S\0324\ 31 line :

E\032E\ x\032E\ depends E\032E\ x\032E\ x\032E\_DEPENDS.X# EquRep num2str x\032E\_DEPENDS.X# num2str findstr 1 - ≠ 11 line :

a\032E\ b\032E\ x\032E\ depends a\032E\ x\032E\ depends b\032E\ x\032E\ depends & 11 line :

E\032E\ x\032E\ DIFF diff(E\032E\ x\032E\_DIFF# EquRep num2str,_DIFF#) concat str2num_DIFF# x\032E\ EquRep 11 line :

E\032E\ x\032E\ n\032E\ DIFF diff(E\032E\ x\032E\_DIFF# EquRep num2str,_DIFF#, n\032E\ num2str) concat str2num_DIFF# x\032E\ EquRep 11 line :

Replacing deep EquRepN 20 :

Converts an expression with binary operators to its functional representation E\032E\ N2E k 1 N2E cols range ans Clear(N2E 2 k el (a,b)) concat : ans str2num 12 mat for T\032E\ b\032E\ #N2E# equrep(T\032E\,a¤b, b\032E\) concat str2num : X\032E\ a\032E\ b\032E\ #N2E# t\0324\ X\032E\ num2str {(strrep}) strrep : t\0324\ t\0324\ (#N2E#(strrep a\032E\ ¤ strrep : N\0324\ 1 EquRepN range t\0324\ num2str t\0324\ t\0324\ num2str b\032E\ #N2E# : num2str ≡ break continue if 11 line for t\0324\ num2str #N2E#((strrep str2num 41 line : ans\0324\ E\032E\ a b ¤ a b #Xor# equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b & a b #And# equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b | a b #Or# equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b > b a < equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b ≥ b a ≤ equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b ≡ a b #Equals# equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b ≠ a b #NotEquals# equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b < a b #LessThan# equrep : ans\0324\ ans\0324\ a b ≤ a b #LessOrEquals# equrep : ans\0324\ ans\0324\ num2str - +#neg#* strrep str2num : k\0324\ 13 range ans\0324\ ans\0324\ num2str N2E 1 k\0324\ el # N2E 2 k\0324\ el #(a,b) concat #N2E# : for ans\0324\ ans\0324\ / #Times#(a,#Inv#(b) #N2E# : k\0324\ 1 N2E cols range # N2E 2 k\0324\ el #(a,b): N2E 2 k\0324\ el (a,b) concat str2num for b #Inv# b #neg# Pow : #neg# 1 - : b\032E\ #N2E# b\032E\ : 13 mat ans\0324\ num2str #N2E# strrep num2str str2num 181 line :

This avoid the bug:

a b & (c | (d ≡ num2str str2num a b & (c d ≡ (|

This is, can't use num2str with booleans

a b & (c | (d ≡ num2str a&b|c≡d

Matrix of binary operators N2E + *^& | ≡ ≠ < ≤ ¤ Plus Times Pow And Or Equals NotEquals LessThan LessOrEquals Xor 210 mat :

E\032E\ x\032E\ isolate a\0324\_EQ#.10 10 a\0324\ Pow : a\0324\ b\0324\ f\0324\ h\0324\ EQ#.A a\0324\ #ISOL# depends a\0324\ h\0324\ EQ# f\0324\ b\0324\ EQ# if 11 line : a\0324\ b\0324\ z\0324\ f\0324\ h\0324\ j\0324\ EQ#.B a\0324\ #ISOL# depends b\0324\ #ISOL# depends k\0324\ f\0324\ #ISOL# 0 EquRep : f\0324\ #neg# k\0324\ Times Plus z\0324\ #neg# k\0324\ Times Plus EQ# 21 line a\0324\ j\0324\ EQ# if b\0324\ #ISOL# depends b\0324\ h\0324\ EQ# z\0324\ f\0324\ EQ# if if 11 line : ans\0324\ E\032E\ x\032E\ #ISOL# 12 mat EquRep equal2EQ : A\0324\ ans\0324\ 1 el numden : B\0324\ ans\0324\ 2 el numden : ans\0324\ A\0324\ 1 el B\0324\ 2 el * A\0324\ 2 el B\0324\ 1 el * - : 13 mat ans\0324\ #ISOL# 2 DIFF 0 EqualQ ans\0324\ #ISOL# depends & ans\0324\ #ISOL# ans\0324\ #ISOL# 0 EquRep ans\0324\ #ISOL# DIFF / - EQ# : ans\0324\ ans\0324\ N2E 0 EQ# isol EquRepN : if a\0324\ b\0324\ EQ# a\0324\ b\0324\ ≡ (: #ISOL# x\032E\ : #neg# 1 - : 13 mat k\0324\ 1 N2E cols range N2E 2 k\0324\ el (a,b): a N2E 1 k\0324\ el b concat str2num for ans\0324\ 91 line :

E\032E\ x\032E\ isol ans\0324\ E\032E\ x\032E\ isolate equal2EQ : ans\0324\ 1 el x\032E\ EqualQ ans\0324\ 2 el x\032E\ depends ¬ & ans\0324\ 2 el ans\0324\ 1 el ans\0324\ 2 el - if 21 line :

isol 03 matrix eval :

isol isol EQ#(Pow(a,b),z) EQ#.B(a,b,z,a^b,ln(z)/ln(a),exp(ln(z)/b)) 113 mat stack :

Needs sign

isol isol EQ#(Pow(a,b),z) EQ#.B(a,b,z,Pow(a,b),Times(ln(z),Pow(ln(a),#neg#)),Pow(z,Times(1,Pow(b,#neg#)))) 113 mat stack :

isol isol EQ#(Times(a,b),z) EQ#.B(a,b,z,Times(a,b),Times(z,Pow(a,#neg#)),Times(z,Pow(b,#neg#))) 113 mat stack :

isol isol EQ#(Plus(a,b),z) EQ#.B(a,b,z,Plus(a,b),Plus(z,Times(#neg#,a)),Plus(z,Times(#neg#,b))) 113 mat stack :

EQA sin cos tan sec csc cot sinh cosh tanh sech csch coth exp_EQ#.10 erf asin acos atan asec acsc acot asinh acosh atanh asech acsch acoth ln log10 erfinv 215 mat transpose :

_k# 1 EQA rows range isol isol EQ#(EQA_k# 1 el (a),b) concat EQ#.A(a,b, EQA_k# 1 el (a), EQA_k# 2 el (b) concat 113 mat stack : for

_k# 1 EQA rows range isol isol EQ#(EQA_k# 2 el (a),b) concat EQ#.A(a,b, EQA_k# 2 el (a), EQA_k# 1 el (b) concat 113 mat stack : for

ison isol eval :

_k# Clear 1

Coupled ODE

D.1 x μ + (2^y 2^+ :

D.2 x μp - (2^y 2^+ :

x''.eq x 2 y' * + μp D.1 D.1 sqrt * / x μ + (* - μ D.2 D.2 sqrt * / x μp - (* - :

y''.eq y 1 μp D.1 D.1 sqrt * / - μ D.2 D.2 sqrt * / - (* 2 x' * - :

Push y'' into x''

x''.eq x'' x''.eq y'' y''.eq ≡ at ≡ x'' isol :

Now x''.eq is free of y''. We use that in D

ODE System

t u D x x' y y' 14 mat u 1 el u 2 el u 3 el u 4 el 14 mat : x'' x''.eq : x' x'' y' y''.eq 14 mat transpose 31 line :

Numerical example

ic 0.994 00 2.001585106 - stack :

steps 1000 :

μ 0.012277471 :

μp 1 μ - :

t.max 17 :

RK ic 0 t.max steps D Rkadapt :

x(t) & y(t)

RK 1 col RK 2 col augment RK 1 col RK 3 col augment 2 1 sys

x'' vs x'

RK 2 col RK 3 col augment

y'' vs y'

RK 4 col RK 5 col augment

Checking that x''.eq is free of y''

μ μp Clear 1

x''.eq y'' diff 0

D t x x' y y' 41 mat D :

D x' x μp - (2^y 2^+ 2 nthroot 3^x μ + (2^y 2^+ 2 nthroot 3^x 2 y' * + (* μp x μ + (* - (* - μ x μp - (* x μ + (2^y 2^+ 2 nthroot 3^* + x μp - (2^y 2^+ sqrt 3^x μ + (2^y 2^+ sqrt 3^* / - y' y μp - x μ + (2^y 2^+ 2 nthroot 3^+ (x μp - (2^y 2^+ 2 nthroot 3^* μ x μ + (2^y 2^+ 2 nthroot 3^* - (* 2 x' * x μp - (2^y 2^+ 2 nthroot 3^* x μ + (2^y 2^+ 2 nthroot 3^* - x μp - (2^y 2^+ 2 nthroot 3^x μ + (2^y 2^+ 2 nthroot 3^* / 41 mat

Alvaro