<content> Example: Catenary Alvaro's Developement: </content>

a69def25-b89d-4c31-b055-55f94fceaab7 118 ioan92 4 5 false false false 0 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

4 appVersion 1.2.9018.0

<content> Example: Catenary Alvaro's Developement: </content> https://en.smath.com/forum/yaf_postst25376_al-nl-question.aspx

Alvaro's Solution SMath:

Example: Catenary

Shorthand

P# Point P# str2num o 10 red augment P# str2num 1 - P# 10 red augment 21 sys eval 11 line :

Read 3 points in the graph

A 189212 mat :

B 1203612 mat :

C 1408812 mat :

Catenary equation

x f a x xo - a / cosh * yo + :

Find the parameters

a xo yo 31 mat 50505031 mat u F a xo yo 13 mat u transpose : A 1 el f A 2 el - B 1 el f B 2 el - C 1 el f C 2 el - 31 mat 21 line : al_nleqsolve : 30.271 79.5428 25.5782 - 31 mat

a xo yo Clear 1

a xo yo 31 mat A 1 el f A 2 el ≡ B 1 el f B 2 el ≡ C 1 el f C 2 el ≡ 31 sys 50505031 mat FindRoot : 30.271 79.5428 25.5782 - 31 mat

img image:catenary.png : img img 0016111241 mat transparent solid 151 mat : Π img 11 mat 11 mat A Point B Point C Point x f 51 sys : 31 line

Catenary Cable - based on Alvaro's solution; adapted by Ioan: InD Sol0 vMax Cable3.Ioan x xo yo a y a x xo - a / cosh * yo + : x.A y.A x.B y.B 22 mat L.AB 12 mat InD : Solk FJ a xo yo 31 mat Solk : dA xo x.A - : dB xo x.B - : dAa dA a / : dBa dB a / : sA dAa sinh : cA dAa cosh : sB dBa sinh : cB dBa cosh : 42 mat ts dA cA * - dB cB * + sA sB - (a * + a / : a sA sB - (* a cA * yo + a cB * yo + 31 mat L.AB y.A y.B 31 mat - ts cA cB - 0 cA a * dA sA * - a / sA 1 cB a * dB sB * - a / sB 133 mat (1 -^21 mat 41 line : kMax errMax 12 mat vMax : k 1 : Sol 1 el Sol0 : err 1 el ∞ : FJk 1 el Sol 1 el FJ : 14 mat k kMax ≤ ((err k el errMax ≥ (& k k 1 + : FJk k el Sol k 1 - el FJ : Sol k el Sol k 1 - el FJk k el 2 el FJk k el 1 el * - : err k el Sol k el Sol k 1 - el - norme : 31 line 21 line while 31 line a xo yo 31 mat Sol k el : k x.A xo yo a y x.B xo yo a y 21 mat lastError 14 mat 51 line :

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 30012 mat :

x xm xM coco x xm ≥ (x xM ≤ (& 1 if :

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 10 - 2015010022 mat 20012 mat :

<content> Application 1 Solution 1 Ioan: </content>

Alvaro's Example: x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 18921408822 mat 223.0847 12 mat :

kMax errMax 12 mat 20105 -^12 mat :

InD x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat :

Sol0 20501031 mat :

a xo yo 31 mat

vMax kMax errMax 12 mat :

Res InD Sol0 vMax Cable3.Ioan :

Res 4 el

Basisc Results: a xo yo 31 mat Res 1 el : 30.271 79.5428 25.5782 - 31 mat

Niter Res 2 el : 9

y.A.B Res 3 el : 928821 mat

x xo yo a y a x xo - a / cosh * yo + :

Complementary Results: H x.B x.A - : 1 V y.B y.A - : 2 L.c H 2^V 2^+ sqrt : 3 λ L.c L / : 4 tgγ V H / : 5 xo xo yo a y 6 y.oc y.A tgγ xo x.A - (* + : 7 L.Ao a xo x.A - a / sinh (* : 8 L.oB a x.B xo - a / sinh (* : 9 L.AB L.Ao L.oB + : 10102 mat 12214 - 2 122.0656 3 0.5472 4 0.0328 - 5 4.6928 6 89.9822 7 113.6147 8 109.47 9 223.0847 10102 mat

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 18921408822 mat 223.0847 12 mat

lastError

x xo yo a y x x.A x.B coco * x.A y.A x.B y.B 2 2 mat x.A 0 x.A x.A xo yo a y 2 2 mat x.B 0 x.B x.B xo yo a y 2 2 mat xo 0 xo xo xo yo a y 2 2 mat xo 0 xo xo xo yo a y 2 2 mat xo 0 xo y.oc 2 2 mat y x / - x.A x.A xo yo a y . 10 green x.B x.B xo yo a y . 10 green xo xo xo yo a y . 12 red xo y.oc * 12 red 4 5 mat 9 1 sys

lastError

<content> Application 2 Solution 1 Ioan: </content>

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 30012 mat :

kMax errMax 12 mat 20105 -^12 mat :

InD x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat :

Sol0 20501031 mat :

a xo yo 31 mat

vMax kMax errMax 12 mat :

Res InD Sol0 vMax Cable3.Ioan :

Res 4 el

a xo yo 31 mat Res 1 el : 36.2 62.454 104.8362 - 31 mat

Niter Res 2 el : 9

y.A.B Res 3 el : 5.4567 1013 -^* 10021 mat

x xo yo a y a x xo - a / cosh * yo + :

Complementary Results: H x.B x.A - : 1 V y.B y.A - : 2 L.c H 2^V 2^+ sqrt : 3 λ L.c L / : 4 tgγ V H / : 5 xo xo yo a y 6 y.oc y.A tgγ xo x.A - (* + : 7 L.Ao a xo x.A - a / sinh (* : 8 L.oB a x.B xo - a / sinh (* : 9 L.AB L.Ao L.oB + : 10102 mat 15011002 180.2776 3 0.6009 4 0.6667 5 68.6362 - 6 41.636 7 98.3879 8 201.6121 930010102 mat

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 30012 mat

lastError

lastError

<content> Application 3 Solution 1 Ioan: </content>

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 18512 mat :

kMax errMax 12 mat 20105 -^12 mat :

InD x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat :

Sol0 20501031 mat :

a xo yo 31 mat

vMax kMax errMax 12 mat :

Res InD Sol0 vMax Cable3.Ioan :

Res 4 el

a xo yo 31 mat Res 1 el : 158.7332 21.0207 - 160.1271 - 31 mat

Niter Res 2 el : 13

y.A.B Res 3 el : 4.011 1013 -^* - 10021 mat

x xo yo a y a x xo - a / cosh * yo + :

Complementary Results: H x.B x.A - : 1 V y.B y.A - : 2 L.c H 2^V 2^+ sqrt : 3 λ L.c L / : 4 tgγ V H / : 5 xo xo yo a y 6 y.oc y.A tgγ xo x.A - (* + : 7 L.Ao a xo x.A - a / sinh (* : 8 L.oB a x.B xo - a / sinh (* : 9 L.AB L.Ao L.oB + : 10102 mat 15011002 180.2776 3 0.9745 4 0.6667 5 1.3939 - 6 14.0138 - 7 21.0822 - 8 206.0822 918510102 mat

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 18512 mat

lastError

Taut Cable:

λ 0.9745

xo 0 <

lastError

Catenary Cable - based on Alvaro's solution; solution 2, adapted by Ioan: InD Sol0S vMax Cable2.Ioan x xo yo a y a x xo - a / cosh * yo + : x.A y.A x.B y.B 22 mat L.AB 12 mat InD : k 1 : SolS 1 el Sol0S : a xo 21 mat SolS 1 el : errS 1 el ∞ : kMax errMax 12 mat vMax : x.A y.A x.B y.B 22 mat L.AB 12 mat InD : 23 mat SolkS FJS a xo 21 mat SolkS : dA xo x.A - : dB xo x.B - : dAa dA a / : dBa dB a / : sA dAa sinh : cA dAa cosh : sB dBa sinh : cB dBa cosh : 42 mat a sA sB - cB cA - 21 mat * L.AB y.B y.A - 21 mat - dA cA * - dB cB * + sA sB - (a * + a / cA cB - dB sB * - dA sA * + cB cA - (a * + a / sB sA - 22 mat (1 -^21 mat 31 line : FJkS 1 el SolS 1 el FJS : 11 mat k kMax ≤ ((errS k el errMax ≥ (& k k 1 + : FJkS k el SolS k 1 - el FJS : SolS k el SolS k 1 - el FJkS k el 2 el FJkS k el 1 el * - : errS k el SolS k el SolS k 1 - el - norme : 31 line 21 line while 21 line a xo 21 mat SolS k el : L.AB a xo x.A - a / sinh x.B xo - a / sinh + (* : 12 mat a xo yo 31 mat a xo y.B a x.B xo - a / cosh * - 31 mat : k x.A xo yo a y x.B xo yo a y 21 mat L.AB 14 mat 71 line :

Sol0S 204021 mat :

a xo 21 mat

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 18512 mat

rC InD Sol0S vMax Cable2.Ioan : 158.7332 21.0207 - 160.1271 - 31 mat 13 1.09 1012 -^* 10021 mat 18514 mat

w 5 :

a xo yo 31 mat rC 1 el : 158.7332 21.0207 - 160.1271 - 31 mat

F.VA F.VB + w L.AB * :

F.VA xo x.A - (* F.H y.A yo - (* :

F.H w L * y.A yo - (xo x.A - (/ y.B yo - (x.B xo - (/ + / : 1 F.VA F.H y.A yo - (xo x.A - (/ * : 2 F.VB F.H y.B yo - (x.B xo - (/ * : 3 L w * 4 F.VA F.VB + 552 mat 151.725 - 1 1155.7778 2 230.7778 - 39254925552 mat

F.VB x.B xo - (* F.H y.B yo - (* :

F.H y.A yo - (* xo x.A - (/ F.H y.B yo - (* x.B xo - (/ + w L.AB * :

Catenary Cable - based on Alvaro's solution; solution 2, adapted by Ioan: InD Sol0S vMax Cable2s.Ioan x y a x xo - a / cosh * yo + : F20 L.AB y.B y.A - 21 mat : 12 mat k 1 : SolS 1 el Sol0S : a xo 21 mat SolS 1 el : errS 1 el ∞ : nMax errMax 12 mat vMax : x.A y.A x.B y.B 22 mat L.AB 12 mat InD : 23 mat a xo F2 a xo x.A - a / sinh xo x.B - a / sinh - (* a x.B xo - a / cosh x.A xo - a / cosh - (* 21 mat : 11 mat k nMax ≤ ((errS k el errMax ≥ (& k k 1 + : a xo 21 mat SolS k 1 - el : vF k el a xo F2 F20 - : 13 mat JFi k el a xo F2 a xo 21 mat Jacob 1 -^: SolS k el SolS k 1 - el JFi k el vF k el * - : errS k el SolS k el SolS k 1 - el - norme : 41 line while a xo 21 mat SolS k el : yo y.B a x.B xo - a / cosh * - : 12 mat a xo yo 31 mat a xo yo 31 mat : k x.A y x.B y 21 mat a xo F2 14 mat 61 line :

Sol0S 204021 mat :

a xo 21 mat

rC InD Sol0S vMax Cable2s.Ioan : 158.7332 21.0207 - 160.1271 - 31 mat 13 0.0006 100.0002 21 mat 18510021 mat 14 mat

a xo yo 31 mat rC 1 el : 158.7332 21.0207 - 160.1271 - 31 mat

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 18512 mat

L.AB a xo x.A - a / sinh x.B xo - a / sinh + (* : 185

<content> Catenary in Wikipedia: Wrong Solution !!! </content>

Wikipedia - Catenary

https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary#Notes

x.A y.A x.B y.B 22 mat L 12 mat 0015010022 mat 18512 mat

x y a x a / cosh * :

ξ x H / :

χ H 2 a * / :

a fL a x.B a / sinh * a x.A a / sinh * - (:

H x.B x.A - : 150

V y.B y.A - : 100

L 2^V 2^- H 2^/ sqrt 2 a * H / H 2 a * / sinh * ≡

a fV a x.B a / cosh * a x.A a / cosh * - (:

T L 2^V 2^- H 2^/ sqrt : 1.0376

T χ * χ sinh - 0 ≡

χ T χ * χ sinh - 0 ≡ χ 0.01 10 solve : 0.4725

a fL 173.343

L 185

a H 2 χ * / : 158.7338

T χ * χ sinh - 1.4464 107 -^*

a fV 76.3069

V 100

x.A y 158.7332

L 2^V 2^- H 2^/ 2 a * H / H 2 a * / sinh * - 0.039

x.B y 235.0405

x.B y x.A y - 76.3073

x.B y V ≠ 1

a x.B a / cosh * a x.A a / cosh * - 76.3069

a x.B a / sinh * a x.A a / sinh * - 173.3428

a x.B a / sinh * a x.A a / sinh * - L ≠ 1