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Linear equations

Lineare Gleichungen

Mathematics

Mathematik

Contents

Inhalt

Basics

Grundlagen

Linear equations combine the unknown quantities by addition or multiplication by a constant (linear operations) only.

Lineare Gleichungen sind solche, in denen die Unbekannten nur durch Addition oder Multiplikation mit konstanten Faktoren (Koeffizienten) miteinander verknüpft sind.

Multiple equations for a common set of unknowns are called a system of equations. In order to solve for n unknowns, n equations are required.

Mehrere Gleichungen für einen gemeinsamen Satz Unbekannter nennt man Gleichungssystem. Damit die Unbekannten eindeutig berechnet werden können, benötigt man bei n Unbekannten auch mindestens n Gleichungen.

Any linear system with n equations can be written in general form in this way:

In allgemeiner Form lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten und n Gleichungen schreiben:

C i j el x j el * (j 1 n sum r i el ≡

i 1 n range :

x j el

unknowns

Unbekannte

i

equation counter

Gleichungsnummer

C i j el

knwon coefficients for unknown x.j in equation i

Bekannte Koeffizienten der Unbekannten x.j in Gleichung i

r i el

known absolute term or right hand side of equation i

Bekannte absolute Glieder oder rechte Seiten der Gleichung i

for n=2 this can be expanded to

Für n=2 sieht das System ausgeschrieben so aus:

C 11 el x 1 el * C 12 el x 2 el * + r 1 el ≡

C 21 el x 1 el * C 22 el x 2 el * + r 2 el ≡

According to the rules of matrix multiplication the system of equations can be written in matrix format

Mit den Regeln für die Matrixmultiplikation kann man das Gleichungssystem in Matrixform schreiben:

C 11 el C 12 el C 21 el C 22 el 22 mat x 1 el x 2 el 21 mat * r 1 el r 2 el 21 mat ≡

or more compact with symbols for the matrices

oder mit Symbolen für die Matrizen:

C x * r ≡

The solution is obtained by left side multiplying the equation by the inverse of C

Die Lösung erhält man, wenn man diese Gleichung mit der Inversen von C von links multipliziert:

C 1 -^C * x * C 1 -^r * ≡

x C 1 -^r * ≡

This requires the determinant of C to be nonzero, otherwise this would be similar to division by zero.

Die Voraussetzung dafür ist, dass die Determinante von C nicht verschwindet (das wäre analog zur Division durch Null).

Solution methods in SMath

Lösungsverfahren in SMath

There are basically three options for solving linear systems in SMath:

Grundsätzlich haben Sie in SMath Studio drei verschiedene Optionen zur Lösung linearer Gleichungssysteme:

1. Multiplication of the right hand side by the inverse coefficient matrix. This requires the system to be available as matrix C and vector r. This option can provide symbiolic solutions

1. Multiplikation der inversen Koeffizientenmatrix mit der rechten Seite. Dafür muss das Gleichungssystem in Matrixform (Matrix C und Vektor r) vorliegen. Mit dieser Variante können Sie auch symbolisch rechnen.

a b c d 22 mat 1 -^e f 21 mat * d e * - b f * + b c * a d * - / e c * a f * - b c * a d * - / 21 mat

Matrix operations

Rechnen mit Matrizen und Vektoren

2. Use of the techniques for nonlinear systems of equations, in particular the function FindRoot(). The system must be provided as vector of equations or expressions to find the roots of. The unknowns to be solved for need initial values of correct physical dimension. The function can assign the solution directly to the variables (embedded assignment)

2. Benutzung der Techniken für nichtlineare Gleichungssysteme, insbesondere der Funktion FindRoot(). Das Gleichungssystem muss als Vektor von Gleichungen oder Null zu setzenden Ausdrücken vorliegen. Die Variablen, nach denen aufgelöst wird, benötigen einen Startwert. Die Funktion kann die Variablen direkt mit der Lösung belegen (eingebettete Zuweisung).

FindRoot()

Solving Non-Linear Equations

Nichtlineare Gleichungen

3. Function LinSolve() from the LinSolve snippet. The system is specified the same way as with FindRoot() as a vector of equations. No initial values are required but embedded assignment is not available.

3. Funktion LinSolve() aus dem gleichnamigen Code-Baustein. Das Gleichungssystem wird genau wie bei FindRoot() als Vektor von Gleichungen dargestellt. Startwerte werden nicht benötigt, allerdings findet auch keine eingebettete Zuweisung statt.

Options 2 and 3 require the unknown variables to be undefined. All other variables in the equations must be defined. Quantities of equal physical dimension can be parametrized using custom units.

Bei den Varianten 2 und 3 müssen alle Unbekannten undefinierte Variablen sein. Alle anderen Größen in den Gleichungen müssen definiert sein. Größen gleicher physikalischer Dimension kann man mit Maßeinheiten parametrieren.

Option

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

Matrix

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

FindRoot()

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

LinSolve()

_______________________________________________________________________

System given as

System gegeben als:

coefficient matrix, RHS vector

Koeffizienten- matrix, Vektor der rechten Seite

vector of boolean equations

Vektor mit Gleichungen

vector of boolean equations

Vektor mit Gleichungen

Initial guesses required

Startwerte erforderlich

Nein

Yes

Nein

embedded results assignment

eingebettete Ergebniszuweisung

Nein

Yes

Nein

Example: Compute support reactions (linear system)

Beispiel: Auflagerreaktionen berechnen (lineare Gleichungen)

Mathematics

Mathematik

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Inhalt

$Author: mkraska $ $Date: 2013-08-17 23:58:19 +0200 (Sa, 17. Aug 2013) $