<content> <p>CSspline</p> </content>

ac6a360f-ec47-401c-974e-03b6fba15a07 33 Javier Ochoa 4 5 false false 0 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Using splines. CE Tutorial. Numerical methods. Chemical Engineering, October 26, 1987. In regions of sharrply different behavior, splines are often superior to polynomials in generating x - y relationships from data.Example 1

M M

M x,time,min y,dye concentration, g/gal 3 0 5 0 7 0 11 0 14 1 16 3 19 13 21 22 24 29 25 26 26 18 27 8 29 3 33 0 36 0 40 0 44 0 18 2 mat :
x,time,min	y,dye concentration, g/gal
3	0
5	0
7	0
11	0
14	1
16	3
19	13
21	22
24	29
25	26
26	18
27	8
29	3
33	0
36	0
40	0
44	0
#
#
#
#
#

X M 217 range 1 el :

Y M 217 range 2 el :

X Y . augment

Входные данные:

Input data:

подынтегральная функция

integrand

x f X Y x cinterp :

a X min :

нижний предел интегрирования

inferior limit

b X max :

верхний предел интегрирования

superior limit

maxerr 107 -^:

точность вычисления

accuracy

1 φ a b h n simp 13 / h 2 / a φ b φ + (* h a k h * + φ k 1 n 1 - sum * + (* 23 / h * a h 2 / - k h * + φ k 1 n sum * + :

Расчёт:

Calculation:

n 2 :

h b a - n / :

dintp x# f a b h n simp :

ε dintp :

ε abs maxerr > n 2 n * : h b a - n / : dint x# f a b h n simp : ε dint dintp - 15 / : dintp dint : 51 line while

n 512

ε 8.8754979 109 -^*

dint dint ε + :

Ответ:

Result:

dint 219.8233389

AUC 218.8 g * min gal / * : 3468.0505 s kg * m 3^/ *

Now we can plot the graph for the experimental data and the interpolated curve with cubic splines.

X Y . 10 Dark Blue augment X Y x cinterp x a b lele cases 2 1 sys <content> <p>CSspline</p> </content>

Index in X for the interval containing x, assuming that  X is in ascending order. x\032E\ X\032E\ CS.L n\0324\ X\032E\ length eval : x\032E\ X\032E\ 1 el X\032E\ n\0324\ el lele x\032E\ 2 X\032E\ 1 el * X\032E\ 2 el - X\032E\ 2 el ltlt 1 x\032E\ X\032E\ n\0324\ 1 - el 2 X\032E\ n\0324\ el * X\032E\ n\0324\ 1 - el - lelt n\0324\ 1 - n\0324\ x\032E\ X\032E\ ≤ vectorize 11 findrows rows - if if CS.L: Value outside of range. error if 21 line :

t\032E\ h\032E\ y\032E\.0 y\032E\.1 y\032E\''.0 y\032E\''.1 CS.1 t\032E\ t\032E\ 1 - 2 / y\032E\''.0 t\032E\ 1 + 3 / y\032E\''.1 y\032E\''.0 - (* + (* h\032E\ * h\032E\ * y\032E\.1 + y\032E\.0 - (* y\032E\.0 + eval :

Cubic Spline interpolation function. M\032E\ x\032E\ CS X\032E\ Y\032E\ V\032E\ T\032E\ 14 mat M\032E\ eval : k\0324\ x\032E\ X\032E\ CS.L : h\0324\ X\032E\ k\0324\ 1 + el X\032E\ k\0324\ el - : x\032E\ X\032E\ k\0324\ el - h\0324\ / h\0324\ Y\032E\ k\0324\ el Y\032E\ k\0324\ 1 + el V\032E\ k\0324\ el V\032E\ k\0324\ 1 + el CS.1 41 line :

Cubic Spline Derivative. M\032E\ x\032E\ CS.D X\032E\ Y\032E\ V\032E\ T\032E\ 14 mat M\032E\ eval : k\0324\ x\032E\ X\032E\ CS.L : h\0324\ X\032E\ k\0324\ 1 + el X\032E\ k\0324\ el - : t\0324\ x\032E\ X\032E\ k\0324\ el - h\0324\ / : 2 t\0324\ * 1 - (V\032E\ k\0324\ el * t\0324\ 2^13 / - (V\032E\ k\0324\ 1 + el V\032E\ k\0324\ el - (* + (h\0324\ 2 / * Y\032E\ k\0324\ 1 + el Y\032E\ k\0324\ el - h\0324\ / + 51 line :

Cubic Spline Second Derivative. M\032E\ x\032E\ CS.D2 X\032E\ Y\032E\ V\032E\ T\032E\ 14 mat M\032E\ eval : k\0324\ x\032E\ X\032E\ CS.L : V\032E\ k\0324\ el V\032E\ k\0324\ 1 + el V\032E\ k\0324\ el - (x\032E\ X\032E\ k\0324\ el - X\032E\ k\0324\ 1 + el X\032E\ k\0324\ el - / * + 31 line :

Cubic Spline Integral. M\032E\ a\032E\ b\032E\ CS.I a\032E\ b\032E\ > M\032E\ b\032E\ a\032E\ CS.I - a\032E\ b\032E\ ≡ 0 X\032E\ Y\032E\ V\032E\ T\032E\ 14 mat M\032E\ eval : i\0324\ a\032E\ X\032E\ CS.L : j\0324\ b\032E\ X\032E\ CS.L : I\0324\ 0 : 13 mat k\0324\ i\0324\ j\0324\ range h\0324\ X\032E\ k\0324\ 1 + el X\032E\ k\0324\ el - : I\0324\ I\0324\ h\0324\ 2 / Y\032E\ k\0324\ el Y\032E\ k\0324\ 1 + el + h\0324\ 2^12 / V\032E\ k\0324\ el V\032E\ k\0324\ 1 + el + (* - (* + : 21 line for a\032E\ X\032E\ i\0324\ el ≠ d\0324\ a\032E\ X\032E\ i\0324\ el - : h\0324\ X\032E\ i\0324\ 1 + el X\032E\ i\0324\ el - : t\0324\ d\0324\ h\0324\ / : 13 mat s\0324\ V\032E\ i\0324\ 1 + el V\032E\ i\0324\ el - (t\0324\ 4 / * V\032E\ i\0324\ el + (t\0324\ * V\032E\ i\0324\ el V\032E\ i\0324\ 1 + el 2 / + (- : I\0324\ I\0324\ s\0324\ d\0324\ h\0324\ * 6 / * Y\032E\ i\0324\ 1 + el Y\032E\ i\0324\ el - 2 / t\0324\ * - Y\032E\ i\0324\ el + (d\0324\ * - : 31 line I\0324\ if b\032E\ X\032E\ j\0324\ 1 + el ≠ d\0324\ X\032E\ j\0324\ 1 + el b\032E\ - : h\0324\ X\032E\ j\0324\ 1 + el X\032E\ j\0324\ el - : t\0324\ d\0324\ h\0324\ / : 13 mat s\0324\ V\032E\ j\0324\ el V\032E\ j\0324\ 1 + el - (t\0324\ 4 / * V\032E\ j\0324\ 1 + el + (t\0324\ * V\032E\ j\0324\ 1 + el V\032E\ j\0324\ el 2 / + (- : I\0324\ I\0324\ s\0324\ d\0324\ h\0324\ * 6 / * Y\032E\ j\0324\ 1 + el Y\032E\ j\0324\ el - 2 / t\0324\ * - Y\032E\ j\0324\ 1 + el + (d\0324\ * - : 31 line I\0324\ if 51 line if if 11 line :

Cubic Spline interpolation vector of coefficients. X\032E\ Y\032E\ CS.V n\0324\ X\032E\ length : c\0324\ 1 el X\032E\ 3 el X\032E\ 1 el - X\032E\ 3 el X\032E\ 2 el - / - : d\0324\ 1 el 0 : b\0324\ X\032E\ 3 el X\032E\ 1 el - 3 / c\0324\ 1 el X\032E\ 2 el X\032E\ 1 el - 6 / * - : c\0324\ 2 el X\032E\ 2 el X\032E\ 1 el - 6 b\0324\ * / X\032E\ 3 el X\032E\ 2 el - X\032E\ 2 el X\032E\ 1 el - / X\032E\ 2 el X\032E\ 1 el - X\032E\ 3 el X\032E\ 2 el - / - (* : d\0324\ 2 el 1 b\0324\ / Y\032E\ 3 el Y\032E\ 2 el - X\032E\ 3 el X\032E\ 2 el - / Y\032E\ 2 el Y\032E\ 1 el - X\032E\ 2 el X\032E\ 1 el - / - (* : n\0324\ 3 > k\0324\ 3 n\0324\ 1 - (range b\0324\ X\032E\ k\0324\ 1 + el X\032E\ k\0324\ 1 - el - 3 / c\0324\ k\0324\ 1 - el X\032E\ k\0324\ el X\032E\ k\0324\ 1 - el - 6 / * - : c\0324\ k\0324\ el X\032E\ k\0324\ 1 + el X\032E\ k\0324\ el - 6 b\0324\ * / : d\0324\ k\0324\ el 1 b\0324\ / Y\032E\ k\0324\ 1 + el Y\032E\ k\0324\ el - X\032E\ k\0324\ 1 + el X\032E\ k\0324\ el - / Y\032E\ k\0324\ el Y\032E\ k\0324\ 1 - el - X\032E\ k\0324\ el X\032E\ k\0324\ 1 - el - / - d\0324\ k\0324\ 1 - el X\032E\ k\0324\ el X\032E\ k\0324\ 1 - el - 6 / * - (* : 31 line for if a\0324\ X\032E\ n\0324\ el X\032E\ n\0324\ 2 - el - (- X\032E\ n\0324\ el X\032E\ n\0324\ 1 - el - (c\0324\ n\0324\ 2 - el * - : b\0324\ X\032E\ n\0324\ 1 - el X\032E\ n\0324\ 2 - el - c\0324\ n\0324\ 1 - el a\0324\ * - : d\0324\ n\0324\ el X\032E\ n\0324\ el X\032E\ n\0324\ 1 - el - (d\0324\ n\0324\ 2 - el * - d\0324\ n\0324\ 1 - el a\0324\ * - b\0324\ / : k\0324\ n\0324\ 1 - (1 range d\0324\ k\0324\ el d\0324\ k\0324\ el c\0324\ k\0324\ el d\0324\ k\0324\ 1 + el * - : for d\0324\ 1 el d\0324\ 1 el X\032E\ 2 el X\032E\ 1 el - X\032E\ 3 el X\032E\ 2 el - / d\0324\ 3 el * - : X\032E\ Y\032E\ d\0324\ 032 stack 14 mat eval 131 line :

Adaptive Cubic Spline interpolation. fs# a\032E\ b\032E\ CS.A x\0324\ g# x\0324\ i fs# x\0324\ feval * + 11 line : Z\0324\ g# a\032E\ b\032E\ APlot : z\0324\ Z\0324\ 1 el : k\0324\ 2 Z\0324\ length range Z\0324\ k\0324\ 1 - el Re Z\0324\ k\0324\ el Re ≡ 0 z\0324\ z\0324\ Z\0324\ k\0324\ el stack eval : if for z\0324\ Re z\0324\ Im CS.V eval 51 line :

Tangent point c 17 :

MC X Y CS.V : x f MC x CS : dc MC c CS.D : yc c f : Π x f y yc - dc x c - (* - X Y . augment c yc x augment 41 sys : 51 line

CS Interpolation

f x a b int

MC a b CS.I 220.9223

MC c CS.D 2.9863

c f'

MC c CS.D2 0.9739

c f''

Alvaro