Rechnen mit Matrizen und Vektoren

Symbolic matrix and vector operations

Vektoren und Matrizen

Vectors and Matrices

Mathematik

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Inhalt

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Seien Sie extrem vorsichtig mit symbolischer Auswertung (Optimierung) bei Matrizen und Vektoroperationen. SMath vereinfacht arithmetische Ausdrücke nach den Regeln für skalare Werte (Distributivität und Kommutativität der Multiplikation). Diese gelten im Allgemeinen nicht für Vektoren und Matrizen.

Be very carefull with symbolic evaluation (optimization) of matrix and vector operations. SMath simplifies arithmetic expressions according to the rules for scalar values (distributivity, commutativity of multiplication). These do not in general apply to matrices.

Schalten Sie also im Zweifelsfall auf numerische Auswertung.

If in doubt, better use numeric optimization.

Ein Beispiel ist die Multiplikation dreier Vektoren, bei dem mit zwei Vektoren ein Skalarprodukt gebildet wird und das Ergebnis mit dem dritten Vektor multipliziert wird. Dabei kommt es entscheidend auf die Klammersetzung an. Die Vektoren a, b und c sind hier noch nicht definiert (SMath weiß überhaupt noch nicht, dass die Variablen mal Vektoren werden sollen). Daher muss symbolisch ausgewertet werden.

An example is the multiplication of three vectors, where two of them form a dot product and the resulting scalar is multiplied by a third vector. Here, bracketing is crucial. Vectors a, b and c are undefined and untyped variables. SMath does not even know that they are going to become vectors. Numeric evaluation is not possible

Wie man sieht, verschwinden die Klammern. Der Ausdruck wird bei der Berechnung von links nach rechts abgearbeitet. Das Produkt a∙b oder b∙a wird zuerst berechnet. Betrachten wir, was passiert, wenn wir den Variablen Vektoren zuweisen:

The brackets disappear. During calculation, the expression is processed from left to right. The products a∙b or b∙a is computed first. See what happens, if numeric values are assigned to the vectors.

Auswertung symbolisch

symbolic evaluation

falsch!

wrong!

Wenn SMath merkt, dass beide Faktoren Vektoren sind, dann wird das Skalarprodukt berechnet. Dies ergibt eine Zahl, die dann im zweiten Schritt mit dem Vektor c multipliziert wird. Dies ist aber definitiv nicht gemeint. Die rot markierten Ausdrücke sind falsch berechnet, weil SMath die symbolischen Vereinfachungen der Ausdrücke vor dem Einsetzen der konkreten Werte vornimmt. Stellt man auf numerische Auswertung um, so erhält man die richtigen Ergebnisse.

If SMath notes that both factors are vectors, then the scalar product is computed. This scalar is then multiplied by the vector c in all three cases, which is wrong for two of them. This is due to SMath doing symbolic simplification prior to substituting actual values. If the optimization is set to numeric, this does not happen and the expressions are evaluated correctly.

Numerische Auswertung

numeric evaluation

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$Author: mkraska $ $Date: 2014-02-11 00:02:35 +0100 (Di, 11. Feb 2014) $