<content> INITIAL DATA </content>

e2f724d7-2e0d-4c4c-9159-c091642fd4cc 19 nvmnushkin 2 15 false false 0 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Determining the zeros of an equation using "solve" function and using Newton's method

<content> INITIAL DATA </content> <content> 1. The original equation and the derivative of this equation </content>

μ F μ 2 π μ * / sqrt * μ sin * 0.008 2 π μ * / sqrt * μ cos * - :

μ f μ F μ diff :

<content> 2. Graphical representation </content> <content> 2.1. Equation and derivative </content> μ F μ f 2 1 sys <content> 2.2. Equation roots </content>

Option 1:

F1 μ cot :

f1 μ 0.0076923077 / :

F1 f1 2 1 sys

Option 2:

F2 μ tan :

f2 0.0076923077 μ / :

F2 f2 2 1 sys <content> CALCULATION </content> <content> 3. Roots </content> <content> 3.1. Program function "solve" </content>

μ.n μ F 0 ≡ μ solve : 3.14 6.28 9.43 12.57 15.71 18.85 61 mat

<content> 3.2. Newton's method </content>

μz1 μ.0 0.07 : μ.1 μ.0 μ.0 F μ.0 f / - : μ.2 μ.1 μ.1 F μ.1 f / - : μ.3 μ.2 μ.2 F μ.2 f / - : μ.4 μ.3 μ.3 F μ.3 f / - : μ.5 μ.4 μ.4 F μ.4 f / - : μ.6 μ.5 μ.5 F μ.5 f / - : ε.1 μ.0 μ.1 - abs : ε.2 μ.1 μ.2 - abs : ε.3 μ.2 μ.3 - abs : ε.4 μ.3 μ.4 - abs : ε.5 μ.4 μ.5 - abs : ε.6 μ.5 μ.6 - abs : ε.1 107 -^< μz1 μ.1 : ε.2 107 -^< μz1 μ.2 : ε.3 107 -^< μz1 μ.3 : ε.4 107 -^< μz1 μ.4 : ε.5 107 -^< μz1 μ.5 : ε.6 107 -^< μz1 μ.6 : μz1 μ.6 : if if if if if if 141 line :

μz2 μ.0 3.14 : μ.1 μ.0 μ.0 F μ.0 f / - : μ.2 μ.1 μ.1 F μ.1 f / - : μ.3 μ.2 μ.2 F μ.2 f / - : μ.4 μ.3 μ.3 F μ.3 f / - : μ.5 μ.4 μ.4 F μ.4 f / - : μ.6 μ.5 μ.5 F μ.5 f / - : ε.1 μ.0 μ.1 - : ε.2 μ.1 μ.2 - : ε.3 μ.2 μ.3 - : ε.4 μ.3 μ.4 - : ε.5 μ.4 μ.5 - : ε.6 μ.5 μ.6 - : ε.1 107 -^< μz2 μ.1 : ε.2 107 -^< μz2 μ.2 : ε.3 107 -^< μz2 μ.3 : ε.4 107 -^< μz2 μ.4 : ε.5 107 -^< μz2 μ.5 : ε.6 107 -^< μz2 μ.6 : μz2 μ.6 : if if if if if if 11 line 131 line 21 line :

μz3 μ.0 6.28 : μ.1 μ.0 μ.0 F μ.0 f / - : μ.2 μ.1 μ.1 F μ.1 f / - : μ.3 μ.2 μ.2 F μ.2 f / - : μ.4 μ.3 μ.3 F μ.3 f / - : μ.5 μ.4 μ.4 F μ.4 f / - : μ.6 μ.5 μ.5 F μ.5 f / - : ε.1 μ.0 μ.1 - : ε.2 μ.1 μ.2 - : ε.3 μ.2 μ.3 - : ε.4 μ.3 μ.4 - : ε.5 μ.4 μ.5 - : ε.6 μ.5 μ.6 - : ε.1 107 -^< μz3 μ.1 : ε.2 107 -^< μz3 μ.2 : ε.3 107 -^< μz3 μ.3 : ε.4 107 -^< μz3 μ.4 : ε.5 107 -^< μz3 μ.5 : ε.6 107 -^< μz3 μ.6 : μz3 μ.6 : if if if if if if 11 line 131 line 21 line :

μz4 μ.0 9.5 : μ.1 μ.0 μ.0 F μ.0 f / - : μ.2 μ.1 μ.1 F μ.1 f / - : μ.3 μ.2 μ.2 F μ.2 f / - : μ.4 μ.3 μ.3 F μ.3 f / - : μ.5 μ.4 μ.4 F μ.4 f / - : μ.6 μ.5 μ.5 F μ.5 f / - : ε.1 μ.0 μ.1 - : ε.2 μ.1 μ.2 - : ε.3 μ.2 μ.3 - : ε.4 μ.3 μ.4 - : ε.5 μ.4 μ.5 - : ε.6 μ.5 μ.6 - : ε.1 107 -^< μz4 μ.1 : ε.2 107 -^< μz4 μ.2 : ε.3 107 -^< μz4 μ.3 : ε.4 107 -^< μz4 μ.4 : ε.5 107 -^< μz4 μ.5 : ε.6 107 -^< μz4 μ.6 : μz4 μ.6 : if if if if if if 11 line 131 line 21 line :

μz5 μ.0 12.5 : μ.1 μ.0 μ.0 F μ.0 f / - : μ.2 μ.1 μ.1 F μ.1 f / - : μ.3 μ.2 μ.2 F μ.2 f / - : μ.4 μ.3 μ.3 F μ.3 f / - : μ.5 μ.4 μ.4 F μ.4 f / - : μ.6 μ.5 μ.5 F μ.5 f / - : ε.1 μ.0 μ.1 - : ε.2 μ.1 μ.2 - : ε.3 μ.2 μ.3 - : ε.4 μ.3 μ.4 - : ε.5 μ.4 μ.5 - : ε.6 μ.5 μ.6 - : ε.1 107 -^< μ μ.1 : ε.2 107 -^< μz5 μ.2 : ε.3 107 -^< μz5 μ.3 : ε.4 107 -^< μz5 μ.4 : ε.5 107 -^< μz5 μ.5 : ε.6 107 -^< μz5 μ.6 : μz5 μ.6 : if if if if if if 11 line 131 line 21 line :

μz6 μ.0 15.5 : μ.1 μ.0 μ.0 F μ.0 f / - : μ.2 μ.1 μ.1 F μ.1 f / - : μ.3 μ.2 μ.2 F μ.2 f / - : μ.4 μ.3 μ.3 F μ.3 f / - : μ.5 μ.4 μ.4 F μ.4 f / - : μ.6 μ.5 μ.5 F μ.5 f / - : ε.1 μ.0 μ.1 - : ε.2 μ.1 μ.2 - : ε.3 μ.2 μ.3 - : ε.4 μ.3 μ.4 - : ε.5 μ.4 μ.5 - : ε.6 μ.5 μ.6 - : ε.1 107 -^< μz6 μ.1 : ε.2 107 -^< μz6 μ.2 : ε.3 107 -^< μz6 μ.3 : ε.4 107 -^< μz6 μ.4 : ε.5 107 -^< μz6 μ.5 : ε.6 107 -^< μ6 μ.6 : μz6 μ.6 : if if if if if if 11 line 131 line 21 line :

μ μz1 μz2 μz3 μz4 μz5 μz6 61 mat : 0.089324 3.14414 6.28446 9.425627 12.567288 15.713 61 mat

<content> 4. Comparison of "solve" function and Newton's method </content>

Absolute error:

Δ.μ μ.n 1 el μ 1 el - abs μ.n 2 el μ 2 el - abs μ.n 3 el μ 3 el - abs μ.n 4 el μ 4 el - abs μ.n 5 el μ 5 el - abs μ.n 6 el μ 6 el - abs 61 mat : 3.05 3.14 3.14 3.14 3.14 3.14 61 mat

Relative error:

δ.μ Δ.μ 1 el μ 1 el / abs 100 * Δ.μ 2 el μ 2 el / abs 100 * Δ.μ 3 el μ 3 el / abs 100 * Δ.μ 4 el μ 4 el / abs 100 * Δ.μ 5 el μ 5 el / abs 100 * Δ.μ 6 el μ 6 el / abs 100 * 61 mat :

%

δ.μ 34201005033252061 mat

%

Thus, a discrepancy between the calculation results using the "solve" function and using the Newton method was revealed. The relative calculation error for the first root of the equation is ~3500%. The error is that the "solve" function skips the first root of the equation and jumps straight to the second root of the equation.

<content> QUESTIONS </content>

1. Is it possible to improve the accuracy of the calculation of the "solve" function so that it (the function) correctly determines the roots of the equation, including the equation that is presented in this calculation?

2. Please tell me how to simplify my algorithm for determining the roots of a transcendental equation by Newton's method, presented in Section 3.2? If you don't mind, please let me know how this algorithm could be simplified besides using the "solve" function.

3. Please tell me how it is possible to implement in the SMath program an analogue of the "Select parameter" button, which is implemented in the MS Excel program? It is necessary that the algorithm selects the argument according to the given value of the function. This function will greatly simplify the calculations, including the calculations presented in this file.

4. Please tell me how to implement the algorithm for calculating the following equation, its derivative and the roots of the equation in the SMath program:

v Y v 1 v BesselJ * 1.01 0 v BesselJ * - : #

v y v Y v diff :

v Y 0 ≡ v solve #

Thanks a lot!