ac1d23b7-3bad-4761-b35c-c9dbae3cc0ac 24 4 5 false false 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Matrix Auxiliar A\032E\ MAux nr\0324\ A\032E\ rows eval : nc\0324\ A\032E\ cols eval : 1 nr\0324\ range 1 nc\0324\ range A\032E\ 15 mat 11 line :

nr\0324\ nc\0324\ r\0324\ c\0324\ M\0324\ 15 mat A\032E\ MAux :

QR Decomposition A\032E\ MQR n\0324\ nc\0324\ r\0324\ c\0324\ Q\0324\ 15 mat A MAux : R\0324\ n\0324\ n\0324\ matrix : 12 mat c\0324\ 1 n\0324\ range R\0324\ c\0324\ c\0324\ el Q\0324\ c\0324\ col norme : Q\0324\ r\0324\ c\0324\ el R\0324\ c\0324\ c\0324\ el 0 ≠ Q\0324\ r\0324\ c\0324\ el R\0324\ c\0324\ c\0324\ el / Q\0324\ r\0324\ c\0324\ el if : 12 mat k\0324\ c\0324\ 1 + : k\0324\ n\0324\ ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : R\0324\ c\0324\ k\0324\ el Q\0324\ k\0324\ col sum : Q\0324\ r\0324\ k\0324\ el Q\0324\ r\0324\ k\0324\ el Q\0324\ r\0324\ c\0324\ el R\0324\ c\0324\ k\0324\ el * - : 12 mat for 21 line for Q\0324\ R\0324\ 12 mat 31 line :

RowReducedEchelonForm A\032E\ MRREF nr\0324\ nc\0324\ νr\0324\ νc\0324\ M\0324\ 15 mat A\032E\ MAux : r\0324\ 1 : 12 mat c\0324\ 1 nc\0324\ range m\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : p\0324\ r\0324\ : νc\0324\ c\0324\ nc\0324\ range : 13 mat k\0324\ r\0324\ : k\0324\ nr\0324\ ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : m\0324\ abs M\0324\ k\0324\ c\0324\ el abs < m\0324\ M\0324\ k\0324\ c\0324\ el : p\0324\ k\0324\ : 12 mat 0 if for m\0324\ 0 ≠ H\0324\ 0 : H\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el H\0324\ νc\0324\ el : 14 mat M.RC\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M.RC\0324\ / : 12 mat H\0324\ M\0324\ : H\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el νr\0324\ r\0324\ ≠ M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ νr\0324\ c\0324\ el * - M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el if : M\0324\ H\0324\ : 13 mat r\0324\ nr\0324\ ≡ break r\0324\ r\0324\ 1 + : if 41 line 0 if 31 line for M\0324\ 31 line :

A\032E\ MRound n\0324\ nc\0324\ r\0324\ c\0324\ Q\0324\ 15 mat A MAux : \0324\N 0.5 TOL log10 * - trunc : 12 mat M r\0324\ c\0324\ el M r\0324\ c\0324\ el Re \0324\N round i M r\0324\ c\0324\ el Im \0324\N round * + eval : 21 line :

A\032E\ MEigen n A\032E\ rows : C A\032E\ : I n identity : V n 1 matrix : S V : V 1 el A\032E\ tr : 16 mat E n n matrix : M n 1 - n 1 - matrix : NR 1 n range : check 1 : 14 mat k 2 : k n ≤ k k 1 + : C A\032E\ C V k 1 - el I * - (* : V k el C tr k / : 12 mat for λ V reverse - 1 stack polyroots : k NR X kOut R 0 : W n 1 - 1 matrix : 12 mat r NR r k ≠ W R R 1 + : el X r el : continue if for W 31 line : X kIn R 0 : W n 1 matrix : 12 mat r NR r k ≠ W r el X R R 1 + : el : W r el 1 : if for W W norme / 31 line : 12 mat V NR el_MEIGENV#_NR num2str concat str2num : Vo n 1 matrix : Vo k el 1 : V k el 1 : eq A\032E\ V * λ k el V * - kOut : VO V kOut : 15 mat r 1 n 1 - (range : c r : 12 mat M r c el diff(eq r el num2str, VO c el num2str) concat str2num : M 1 -^A\032E\ Vo * λ k el Vo * - kOut * - trace Ek M det 0 ≡ check 0 : n 1 matrix 21 line M 1 -^A\032E\ Vo * λ k el Vo * - kOut * - kIn if : E NR k el Ek NR el : S k el A\032E\ Ek * λ k el Ek * - norme : 13 mat 71 line for check S max TOL sqrt < (* λ E 13 mat 61 line :

Gaussian Elimination A\032E\ MGaussElim nr\0324\ nc\0324\ 12 mat A\032E\ rows A\032E\ cols 12 mat : M\0324\ A\032E\ : 12 mat c\0324\ 1 nc\0324\ range r\0324\ c\0324\ 1 + : r\0324\ nr\0324\ ≤ r\0324\ r\0324\ 1 + : M\0324\ c\0324\ c\0324\ el 0 ≠ l\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el M\0324\ c\0324\ c\0324\ el / : k\0324\ 1 nc\0324\ range M\0324\ r\0324\ k\0324\ el M\0324\ r\0324\ k\0324\ el l\0324\ M\0324\ c\0324\ k\0324\ el * - : for 21 line 0 if for for M\0324\ 31 line :

RowEchelonForm A\032E\ MREF nr\0324\ nc\0324\ νr\0324\ νc\0324\ M\0324\ 15 mat A\032E\ MAux : r\0324\ 1 : 12 mat c\0324\ 1 nc\0324\ range m\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : p\0324\ r\0324\ : νc\0324\ c\0324\ nc\0324\ range : 13 mat k\0324\ r\0324\ : k\0324\ nr\0324\ ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : m\0324\ abs M\0324\ k\0324\ c\0324\ el abs < m\0324\ M\0324\ k\0324\ c\0324\ el : p\0324\ k\0324\ : 12 mat 0 if for m\0324\ 0 ≠ H\0324\ 0 : H\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el H\0324\ νc\0324\ el : 14 mat M.RC\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M.RC\0324\ / : 12 mat H\0324\ M\0324\ : H\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el νr\0324\ r\0324\ ≠ M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ νr\0324\ c\0324\ el * - M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el if : M\0324\ H\0324\ : 13 mat r\0324\ nr\0324\ ≡ break r\0324\ r\0324\ 1 + : if 41 line 0 if 31 line for M\0324\ 31 line :

TOL 1010 -^:

sc λ M 13 mat A MEigen ≡

returns the sanity check sc, the eigenvalues λ, and the columns of M are the eigenvectors of A

A 13 - 335 - 366 - 433 mat :

sc λ M 13 mat A MEigen : 12 - 2 - 431 mat 0.4082 0.2673 0.4082 0.4082 - 0.8018 0.4082 0.8165 - 0.5345 0.8165 33 mat 13 mat

M 1 -^A * M * MRound 0.4082 0.2673 0.4082 0.4082 - 0.8018 0.4082 0.8165 - 0.5345 0.8165 33 mat

B is the matrix for change basis

B A M * :

B λ diag * B 1 -^* MRound 0.4082 0.2673 0.4082 0.4082 - 0.8018 0.4082 0.8165 - 0.5345 0.8165 33 mat

k 1 :

n 3 :

Id n identity :

Z n 1 matrix :

A dn_LinAlgEigenvectors 0.4082 - 0.244 0.407 i * - 0.244 0.407 i * + 0.4082 - 0.4162 - 0.407 i * - 0.4162 - 0.407 i * + 0.8165 - 0.6602 - 0.6602 - 33 mat

S A λ k el Id * - Z augment :

S MRREF 10000100001034 mat

S MREF 10000100001034 mat

A dn_LinAlgEigenvalues 42 - 1.1047 1015 -^* i * + 2 - 1.1047 1015 -^* i * - 31 mat

S MGaussElim 33 - 3000 3.0966 108 -^* - 00 6.1931 108 -^* 9.2897 108 -^* - 034 mat

A MQR 0.1474 0.1426 - 0.8136 0.4423 0.1817 0.5377 - 0.8847 0.973 0.221 - 33 mat 6.7823 14 - 100 6.5626 4.7442 - 00 1.0435 33 mat 12 mat

A dn_LinAlgEigenvectors 0.4082 - 0.244 0.407 i * - 0.244 0.407 i * + 0.4082 - 0.4162 - 0.407 i * - 0.4162 - 0.407 i * + 0.8165 - 0.6602 - 0.6602 - 33 mat

A 011 - 1101 - 0133 mat :

sc λ M 13 mat A MEigen : 11 - 1231 mat 0.8165 0 0.5774 - 0.4082 - 0.7071 0.5774 - 0.4082 0.7071 0.5774 33 mat 13 mat

M 1 -^A * M * MRound 0.8165 0 0.5774 - 0.4082 - 0.7071 0.5774 - 0.4082 0.7071 0.5774 33 mat

sc 1

A dn_LinAlgEigenvalues 1 - 2131 mat

B is the matrix for change basis

B A M * :

B λ diag * B 1 -^* MRound 0.8165 0 0.5774 - 0.4082 - 0.7071 0.5774 - 0.4082 0.7071 0.5774 33 mat

A 12245 - 36 - 2433 mat :

A dn_LinAlgEigenvectors 0.1753 - 0.1613 0.5024 i * - 0.1613 0.5024 i * + 0.9448 0.2251 0.327 i * - 0.2251 0.327 i * + 0.2769 - 0.751 0.751 33 mat

sc λ M 13 mat A MEigen : 1 3.3107 3.1435 i * + 3.3107 3.1435 i * - 6.6213 - 31 mat 0.5277 0.5053 0.152 i * + 0.1753 0.3801 0.1143 i * + 0.3969 0.9448 - 0.2296 0.715 i * + 0.4258 0.6186 i * - 0.2769 33 mat 13 mat

A dn_LinAlgEigenvalues 6.6213 - 3.3107 3.1435 i * + 3.3107 3.1435 i * - 31 mat

M 1 -^A * M * MRound 0.5277 0.5053 0.152 i * + 0.1753 0.3801 0.1143 i * + 0.3969 0.9448 - 0.2296 0.715 i * + 0.4258 0.6186 i * - 0.2769 33 mat

sc 1

A 13 - 335 - 366 - 433 mat :

sc λ M 13 mat A MEigen : 12 - 2 - 431 mat 0.4082 0.2673 0.4082 0.4082 - 0.8018 0.4082 0.8165 - 0.5345 0.8165 33 mat 13 mat

A dn_LinAlgEigenvectors 0.4082 - 0.244 0.407 i * - 0.244 0.407 i * + 0.4082 - 0.4162 - 0.407 i * - 0.4162 - 0.407 i * + 0.8165 - 0.6602 - 0.6602 - 33 mat

M 1 -^A * M * MRound 0.4082 0.2673 0.4082 0.4082 - 0.8018 0.4082 0.8165 - 0.5345 0.8165 33 mat

sc 1

A dn_LinAlgEigenvalues 42 - 1.1047 1015 -^* i * + 2 - 1.1047 1015 -^* i * - 31 mat

Numerical Issues

A 0100 u 2^- 2 u * 00 u s * - s u 0 u t * - t 0 u 44 mat :

u 5 :

s 2 :

t 3 :

w u 1 u 2^+ sqrt / :

A dn_LinAlgEigenvectors 00 0.171 0.1215 - 00 0.855 0.6077 - 10 0.219 0.3987 - 01 0.438 0.6759 - 44 mat

sc λ M 13 mat A MEigen : 0 4.9989 5 0.0011 i * + 5 0.0011 i * - 5.0011 41 mat 0.1602 0.1601 3.3628 105 -^* i * - 00 0.8006 0.8006 00 0.3203 0.3203 6.7256 105 -^* i * - 10 0.4804 0.4804 0.0001 i * - 0144 mat 13 mat

A dn_LinAlgEigenvalues 555541 mat

M 1 -^A * M * MRound 0.1602 0.1601 00 0.8006 0.8006 00 0.3203 0.3203 0.0001 i * - 10 0.4804 0.4804 0.0001 i * - 0144 mat

sc 0

Exact solution have only 3 indep eigenvectors

λ u u u u 41 mat : 555541 mat

M w u / w u / 00 w w 000010000144 mat : 0.1961 0.1961 00 0.9806 0.9806 000010000144 mat

M 1 -^A * M * MRound 0.1961 0.1961 00 0.9806 0.9806 000010000144 mat

Non invertible matrix

A 110122 mat :

sc λ M 13 mat A MEigen : #

sc 0

A dn_LinAlgEigenvectors 11 - 0 2.2204 1016 -^* 22 mat

M 1 -^A * M * MRound 0.1961 0.1961 00 0.9806 0.9806 000010000144 mat

A det 1

A dn_LinAlgEigenvalues 1121 mat

A SC #

Alvaro