<p> Vector Field ..... Courtesy Alvaro </p>

90f85543-6608-4e9a-9c89-86d20c8a6e6d 54 4 5 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

∞ 1010^:

CycleColors 5 :

P V L 1 sf pVec t V norme eval : a 0.5 0.3 0.15 0.65 0.35 14 mat * t sf * eval : 12 mat x L 1 el a 1 el - 000 a 1 el 51 mat * eval : y L 2 el a 3 el a 4 el - a 3 el a 4 el + a 3 el a 4 el + (- a 3 el a 4 el + a 3 el a 4 el - 51 mat * eval : 12 mat θ t 0 ≡ 0 V 1 el sign V 2 el t / acos * - if eval : c θ cos : s θ sin : 13 mat k 15 range x k el y k el 21 mat P c x k el * s y k el * - s x k el * c y k el * + 21 mat + eval : for x y augment eval 51 line :

2 F B N L 1 sf pVField x1 x2 y1 y2 22 mat B : nx ny 21 mat N : n nx ny * : R 0 : t# Clear 15 mat M 5 n * 5 + 1 matrix : V n 1 matrix : P V : 13 mat Δx x2 x1 - nx / eval : Δy y2 y1 - ny / eval : 12 mat c 0 nx 1 - (range r 0 ny 1 - (range x y 21 mat c 0.5 + (Δx * x1 + r 0.5 + (Δy * y1 + 21 mat : ν r c ny * + 1 + : P ν el x y 21 mat : V ν el x y F eval : 13 mat 21 line for for V V Δy V norme vectorize max eval / * eval : k 1 n range M R R 1 + : el P k el V k el L t# sf pVec : η 1 CycleColors range M R R 1 + : el ∞ : for 21 line for M mat2sys.1 eval 71 line :

ic to tf N 2 D pRKFam S IC t u Clear k 1 ic rows range : 12 mat S k el ic k el to tf N t u D rkfixed : IC k el ic k el transpose o augment : mat2sys.1 S k el S k el 2 col S k el 3 col augment : mat2sys.1 21 sys 31 line :

Rkadapt RKF45 ... wrt 'β'  ►  D(t,X,β)) β 0.75 0.375 21 mat : t X β D X 2 el β 1 el X 2 el * X 1 el (2^1 - (* - β 2 el (2^X 1 el * - 21 mat : t.1 500 : N 10 t.1 * : ic 0 0.125 - 21 mat : t.0 ic 1 el : 14 mat r ic t.0 t.1 N t X β D Rkadapt : vU r 1 col : vY r 2 col : vZ r 3 col : 13 mat IntegralPath vY vZ augment : IP IntegralPath : 71 sys

μ β 1 el : ω β 2 el : ε 1.01 : 13 mat t X d' X 2 el μ X 2 el * X 1 el (2^1 - (* - ω 2^X 1 el * - 21 mat : x v D 0 x v 12 mat d' : B 2.5 - 2.5 2 - 222 mat : N 202021 mat : L 1121 mat : t sf t ε + ln (0.4^: 14 mat Field x v D B N L t sf pVField : 51 sys

adapted from original t ε + ln (lenght arrow near origin 21 sys^

Van der Pol on dual parameters 'β' ...

IP Field ic 1 el ic 2 el . 15 black 1 5 mat end 1 1 el end 1 2 el . 15 black 1 5 mat 4 1 sys

end IP IP rows row (: 2.014 0.0492 - 12 mat

brute force clean path sub IP 119320 range 12 range el :

θ rot θ cos θ sin - θ sin θ cos 22 mat :

θ π - 4 / :

Rot sub θ rot * :

sub Rot 2 1 sys

sub 1 row sub sub rows row 21 mat 2.0021 0.0542 - 12 mat 2.0189 0.0223 - 12 mat 21 mat

Parametric Rkadapt RKF45 ... wrt 'β'  ►  D(t,X,β)) β 0.5 0.5 21 mat : t X β D X 2 el β 1 el X 2 el * X 1 el (2^1 - (* - β 2 el (2^X 1 el * - 21 mat : t.max 20 : N 2000 : init 0 β 1 el - 21 mat : t.0 init 1 el : 14 mat res init t.0 t.max N t X β D Rkadapt : X res 1 col : Y res 2 col : Z res 3 col : 13 mat IntegralPath Y Z augment : 61 sys

IntegralPath init 1 el init 2 el + 300 red 1 5 mat 2 1 sys

For this particular example Rkadapt RKF45, experiment 'β' vector parameters. Rkadapt ► Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45) ("1:vector", "2:number", "3:number", "4:number", "5:function") - (init, x1, x2, intvls, D(t,X,β) .

t U Ω U 2 el U 3 el 1 U 1 el (2^- (* U 2 el * (U 1 el - 031 mat :

t0 0 : t1 20 : N 500 : 31 line

ic 12331 mat :

--- ◄ 0 circle on range 2π ≡ 3 rd_parameter * 1 > (Van_der_Pol ≡ 21 sys

Either 'rkfixed' or 'Rkadapt' sol ic t0 t1 N t U Ω dn_GearsBDF :

x sol 1 col : X sol 2 col : Y sol 3 col : 31 line

U x X augment : V x Y augment : 21 line

Sol X Y augment :

Sol ic 1 el ic 2 el + 20 red 1 5 mat 2 1 sys U V 2 1 sys

Van der Pol oscillator

t y μ D y 2 el μ 1 y 1 el (2^- (* y 2 el * y 1 el - 21 mat :

Y 0.0001 0 stack :

t0 0 :

tmax 20 :

n 500 :

fails res Y t0 tmax n t y 4 D mk52lfa :

res Y t0 tmax n t y 4 D rkm9st :

res Y t0 tmax n t y 4 D rkm9mkn :

res Y t0 tmax n t y 4 D rkm9mka :

res Y t0 tmax n t y 4 D mk52lfn :

T res 1 col : Y1 res 2 col : Y2 res 3 col : 13 mat

Y T Y1 augment T Y2 augment 21 sys :

blue Y1 Y2 augment : red Y2 Y1 augment : 21 sys

sub_blue blue 153408 range 12 range el : sub_red red 153408 range 12 range el : 21 sys

blue red 2 1 sys sub_blue sub_red 2 1 sys

Parametric Rkadapt RKF45 ... wrt 'β'  ►  D(t,X,β)) β 0.75 0.375 21 mat : t var β Φ var 2 el β 1 el var 2 el * var 1 el (2^1 - (* - β 2 el (2^var 1 el * - 21 mat : t.max 22.1197 : N 1000 : init 0 β 1 el - 21 mat : t.0 init 1 el : 14 mat res init t.0 t.max N t var β Φ Rkadapt : vU res 1 col : vY res 2 col : vZ res 3 col : 13 mat IntegralPath vY vZ augment : 61 sys

Van der Pol on dual parameters 'β' ...

IntegralPath init 1 el init 2 el + 30 red 1 5 mat 2 1 sys

0.75 0.375 21 mat 22.1197 2.019851 - 2.019851 21 mat 13 mat

x y axes x y / - :

IntegralPath 1 col Min IntegralPath 1 col Max 21 mat 2.019851 - 2.019851 21 mat

Parametric Rkadapt RKF45 ... wrt 'β'  ►  D(t,X,β)) β 0.325 321 mat : t var β Φ var 2 el β 1 el var 2 el * var 1 el (2^1 - (* - β 2 el (2^var 1 el * - 21 mat : t.max 20 : N 1000 : init 0 β 1 el - 21 mat : t.0 init 1 el : 14 mat res init t.0 t.max N t var β Φ Rkadapt : vU res 1 col : vY res 2 col : vZ res 3 col : 13 mat IntegralPath vY vZ augment : 61 sys

IntegralPath axes 2 1 sys

1rst derivative
2nd derivative XY vU vY augment vU vZ augment 21 sys :

Van der Pol circle

U Clear 1

t U Ω U 2 el U 3 el 1 U 1 el (2^- (* U 2 el * (U 1 el - 031 mat :

t0 0 : t1 2 π * : N 100 : 31 line

ic 20031 mat :

--- ◄ # radius circle ≡ 11 sys

--- ◄ 0 Trig circle on range 2π ≡ 3 rd_parameter * 0 > (Van_der_Pol ≡ 21 sys

Either 'rkfixed' or 'Rkadapt' sol ic t0 t1 N t U Ω dn_GearsBDF :

x sol 1 col : X sol 2 col : Y sol 3 col : 31 line

U x X augment : V x Y augment : circle X Y augment : 31 line

radius 00 ic 1 el t0 cos * ic 1 el t0 sin * 0032 mat : 00200032 mat

circle radius ic 1 el ic 2 el . 14 black 1 5 mat 3 1 sys U V 2 1 sys

Wiki sub_blue 1 col 0.25 sub_blue 2 col (* augment sub_blue 1 col 0.5 sub_blue 2 col (* augment sub_blue 1 col 0.75 sub_blue 2 col (* augment 31 sys :

x y axes x y / - :

https://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator

sub_blue circle Wiki axes 4 1 sys

Van der Pol system

U Clear 1

Van der Pol shape p 12 :

t U Ω U 2 el U 3 el 1 U 1 el (2^- (* U 2 el * (U 1 el - 031 mat :

t0 0 : t1 p π * : N 5000 : 31 line

ic 20 p 31 mat :

--- ◄ # radius circle ≡ 11 sys

--- ◄ 0 Trig circle on range 2π ≡ 3 rd_parameter * 0 > (Van_der_Pol ≡ 21 sys

Either 'rkfixed' or 'Rkadapt' sol ic t0 t1 N t U Ω dn_GearsBDF :

x sol 1 col : X sol 2 col : Y sol 3 col : 31 line

U x X augment : V x Y augment : Van X Y augment : 31 line

radius 00 ic 1 el t0 cos * ic 1 el t0 sin * 0032 mat : 00200032 mat

Van radius ic 1 el ic 2 el . 14 black 1 5 mat 3 1 sys U V 2 1 sys