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&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Integrals

Integrale

Mathematics

Mathematik

Contents

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SMath can only handle definite integrals (over a specified interval) and even that only numerically. • Integration limits with units are transformed to base units and then treated as dimensionless. • Integrands must not contain if() statements. If piecewise continuous functions are to be integrated, then they have to be expressed using boolean operators. • The number of intervals for numeric integration is set globally using Main menu> Tools> Options> Calculation> Integrals: Accuracy. If in doubt, increase the value and check if the result depends on that setting. If the function is sufficiently smooth, then the default value (100) is appropriate. Functions with discontinuities may easily require much higher values. • For improved accuracy, the integration interval should be split at discontinuity points.

SMath kann nur bestimmte Integrale (mit Integrationsgrenzen) und diese auch nur numerisch berechnen. • Größen mit Maßeinheiten an den Integrationsgrenzen werden in Basiseinheiten umgewandelt und dann als dimensionslos betrachtet. • Funktionen dürfen keine if()-Anweisung enthalten. Sollen stückweise stetige Funktionen integriert werden, kann man sie durch arithmetische Ausdrücke mit logischen Operatoren definieren. • Die Integrationsgenauigkeit wird global unter Hauptmenü> Extras> Einstellungen> Berechnung> Integrale: Genauigkeit eingestellt. Der Wert gibt die Zahl der Intervalle zwischen den Integrationsgrenzen an, die bei der numerischen Berechnung verwendet wird. Im Zweifelsfall muss man den Wert erhöhen und prüfen, in welchem Maße das Ergebnis von der Einstellung abhängt. Bei hinreichend glatten Funktionen ist die Voreinstellung (100) gut geeignet, bei Funktionen mit Unstetigkeiten können schnell höhere Werte erforderlich sein. • Im Interesse der Genauigkeit ist es vorteilhaft, das Integrationsgebiet an Unstetigkeitsstellen aufzuteilen.

Indefinite integrals or symbolic evaluation are not possible within SMath. As an alternative you can use the plugin Maple Wrapper.

Unbestimmte Integrale oder symbolische Auswertung sind mit den eingebauten Funktionen in SMath nicht möglich. Alternativ kann das Plugin Maple Wrapper benutzt werden.

Integrals with units

Integrale mit Maßeinheiten

Integration of piecewise continuous functions

Integration stückweise stetiger Funktionen

The integration function int() fails if the integrand is defined using if() statements. In this case, a senseless error message is thrown (integration variable not defined).

Die Integrationsfunktion int() versagt, wenn Funktionen unter Verwendung von if() definiert werden. Es kommt dann die unsinnige Fehlermeldung, die Integrationsvariable sei nicht definiert.

t v t 0 ≥ (t 1 ≤ (& 5 t * 0 if :

x v

t v t 02 int #

As a workaround, you can define the function using boolean operators, which evaluate to one if true and zero if false.

Der Ausweg besteht in der Verwendung von logischen Operatoren, mit denen man Ausdrücke definieren kann, die nur in einem bestimmten Bereich Eins, ansonsten aber Null sind:

t w 5 t * t 0 ≥ (* t 1 ≤ (* :

x w

t w t 2 - 2 int 2.5333

A convergence study shows the dependence of the result from the accuracy setting.

Eine Konvergenzanalyse zeigt folgende Abhängigkeit des Ergebnisses von der eingestellten Genauigkeit:

Main menu> Tools> Options> Calculation> Integrals: Accuracy.

(Hauptmenü> Extras> Einstellungen> Berechnung> Integrale: Genauigkeit)

Accuracy

Genauigkeit

exact

exakt

100

1000

10000

t w t 2 - 2 int

2.5000

2.5333

2.5033

2.5003

Due to the discontinuity at point t=1, the error is greater than 1% with the standard setting for accuracy (100 intervals)

Aufgrund der Unstetigkeit bei t=1 kommt es bei der Standardeinstellung Genauigkeit 100) zu einem Fehler von über einem Prozent.

Integration with variable limits

Integration mit variablen Grenzen

It is possible to define functions involving integrals with variable limits:

Man kann Funktionen definieren, die Integrationen mit variablen Grenzen enthalten:

x f y y 1 - x int :

Take care to use different variable for limit(here x) and integration (here x)!

Achtung: Benennen Sie die Grenze und die Integrationsvariable unterschiedlich!

M 02 matrix :

X 1 - 11 - 0.5 + range M M X X f 12 mat stack : for

M 1 - 0 0.5 - 0.375 - 0 0.5 - 0.5 0.375 - 1 2.9606 1017 -^* 52 mat

Expressions with variable integration limits may fail to be plotted.

Ausdrücke mit variablen Grenzen lassen sich allerdings nicht ohne weiteres plotten.

Using the built-in 2D plot region, the plot succeeds only if you define the expression as function and use eval() either in the definition or in the call.

Beim Standard-Diagrammbereich gelingt der Plot erst, wenn man den Ausdruck als Funktion definiert und bei Definition oder Aufruf eval() anwendet

x f.e y y 1 - x int eval :

y y 1 - x int y y 1 - x int eval x f x f eval x f.e

Using the X-Y Plot-plugin, you can - either use a function (without need to use eval()) - or pre-define the dummy integration variable with whatever value, just to make sure that the plot region does not complain about a function of two variables.

Beim Diagrammbereich aus dem Plugin X-Y Plot: - muss entweder auch eine Funktion verwendet werden (ohne dass eval() erforderlich ist) - oder die Integrationsvariable, die im Ausdruck verwendet wird, muss mit einem Wert belegt werden, damit der Plotbereich nicht annimmt, das der Ausdruck von zwei Variablen abhängig ist.

y y 1 - x int x f

y 1 :

y y 1 - x int

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$Author: mkraska $ $Date: 2013-08-17 07:17:31 +0200 (Sa, 17. Aug 2013) $