520608cd-6632-4d4d-bf52-cdd0dc0e7b78 115 4 5 false false 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

restart MaximaControl Restart complete.

all MaximaTakeover diff(), int(), lim(), sum(), det() handled by Maxima

x step 12 / 1 x sign + (* :

l.0 0 > assume Maxima l.0 0 > 11 sys

Streckenlast

Limit of plotting:

x I 10 x < (x 5 l.0 * < (* / :

Design of a shaft shown in Figure #1 according to given loads and application data.

Fig. #1 Analysed shaft

Given Data:

External forces applied on the shaft

Safety factor

A shaft is made of steel grade: SAE 4320 Steel, hardness = 38 HRC, Sy=860 MPa,Su=1240 MPa, E=1.94E5 MPa, and G=7.5E4 MPa

l.0 40 mm * :

F.0 1.0 kN * :

D 3.0 l.0 * :

n.s 3 :

S.y 860 MPa * :

F.t 6 F.0 * :

F.a 4 F.0 * :

E 1.94 105^* MPa * :

ν 0.3 :

F.c 2 F.0 * :

F.r 5 F.0 * :

G E 21 ν + (* / : MPa 74615.4

Torque F.t D * 2 / : 9 F.0 l.0 * *

Find: + Create bending and torque diagrams + Determine the shaft diameter + Determine the total shaft deflection at point C (gear).

Analysis in plane XY

Fig. #2 Analysed shaft in plane xy, with reactions

Integration der Streckenlast und Addition der Einzelkräfte

Integration of the line load and point loads

x Q1 R.Ay F.t x 3 l.0 * - step * + F.c x 4 l.0 * - step * - :

Querkraft

shear force

x M1 x Q1 x int M.0 + :

Biegemoment

bending moment

x φ1 x M1 EI / x int φ.0 + :

Neigungswinkel

slope

Durchsenkung

deflection

x w1 x φ1 x int - w.0 + :

Randbedingungen zur Bestimmung der unbekannten Konstanten (2 Reaktionskräfte und 4 Integrationskonstanten)

boundary conditions to determine the unknowns (2 support reactions and 3 integration constants)

Gl 1 el 5 l.0 * Q1 R.Dy ≡ (:

Querkraftfreiheit am rechten Ende

shear force at free right boundary

Gl 2 el 0 M1 0 ≡ (:

Momentenfreiheit am linken Rand

Moment at the left boundary

Gl 3 el 5 l.0 * M1 0 ≡ (:

Momentenfreiheit am rechten Rand

Moment at the right boundary

Gl 4 el 0 w1 0 ≡ (:

Durchsenkung bei A gleich Null

Deflection at the left support

Gl 5 el 5 l.0 * w1 0 ≡ (:

Durchsenkung bei B gleich Null

Deflection at the right support

Lösung des Gleichungssystems

Solve the system of equations

Gl Unknowns M.0 R.Ay R.Dy w.0 φ.0 51 mat

Gl Gl Unknowns Solve Assign 5 F.0 * l.0 * - 2 F.0 * - 2 F.0 * 17 F.0 * l.0 3^* 6 EI * / 123 F.0 * l.0 2^* 10 EI * / 51 sys

Auflagerreaktionen

Support reactions in plane XY

R.Ay 2 F.0 * -

R.Dy 2 F.0 *

Extremwerte:

Extremal values

x l.0 * Q1 F.0 / x l.0 * I *

4 l.0 * Q1 3 F.0 *

x l.0 * M1 F.0 l.0 * / x l.0 * I *

3 l.0 * M1 6 F.0 l.0 * * -

x l.0 * φ1 F.0 l.0 2 ^ * EI / / x l.0 * I *

0 φ1 6.8 F.0 l.0 2^* EI / *

x.0 φ1 0 ≡ x.0 2 l.0 * ≡ FindRoot 2.61 l.0 *

x l.0 * w1 l.0 3 ^ F.0 * EI / / x l.0 * I *

x.0 w1 11.8215 l.0 3^F.0 * EI / * -

4 l.0 * w1 6.8667 l.0 3^F.0 * EI / * -

Analysis in plane XZ

Fig. #3 Analysed shaft in plane xz, with reactions

Integration der Streckenlast und Addition der Einzelkräfte

Integration of the line load and point loads

x Q2 R.Az - F.r x 2 l.0 * - step * - (:

Querkraft

shear force

x M2 x Q2 x int F.a D * 2 / x 2 l.0 * - step * + M2.0 + :

Biegemoment

bending moment

x φ2 x M2 EI / x int φ2.0 + :

Neigungswinkel

slope

x w2 x φ2 x int - w2.0 + :

Durchsenkung

deflection

rx R.Ax F.a - :

Randbedingungen zur Bestimmung der unbekannten Konstanten (2 Reaktionskräfte und 4 Integrationskonstanten)

Boundary conditions to determine the unknowns (2 support reactions and 3 integration constants and one equilibium equation)

G2 1 el 5 l.0 * Q2 R.Dz - ≡ (:

Querkraftfreiheit am rechten Ende

shear force at free right boundary

G2 2 el 0 M2 0 ≡ (:

Momentenfreiheit am linken Rand

Moment at the left boundary

G2 3 el 5 l.0 * M2 0 ≡ (:

Momentenfreiheit am rechten Rand

Moment at the right boundary

G2 4 el 0 w2 0 ≡ (:

Durchsenkung bei A gleich Null

Deflection at the left support

G2 5 el 5 l.0 * w2 0 ≡ (:

Durchsenkung bei B gleich Null

Deflection at the right support

G2 6 el rx 0 ≡ (:

Durchsenkung bei B gleich Null

Equliburim equations

Lösung des Gleichungssystems

Solve the system of equations

G2 Unknowns M2.0 R.Ax R.Az R.Dz w2.0 φ2.0 61 mat

G2 G2 Unknowns Solve Assign 5 F.0 * l.0 * 4 F.0 * 9 F.0 * 5 / - 16 F.0 * 5 / 28 F.0 * l.0 3^* 3 EI * / - 97 F.0 * l.0 2^* 5 EI * / - 61 sys

Auflagerreaktionen

Support reactions in the plane XZ

R.Ax 4 F.0 *

R.Az 1.8 F.0 * -

R.Dz 3.2 F.0 *

Extremwerte:

Extremal values

x l.0 * Q2 F.0 / x l.0 * I *

4.5 l.0 * Q2 3.2 F.0 * -

x l.0 * M2 F.0 l.0 * / x l.0 * I *

2 l.0 * M2 6.6 F.0 * l.0 *

x l.0 * φ2 F.0 l.0 2 ^ * EI / / x l.0 * I *

0 φ2 8.4 F.0 l.0 2^* EI / * -

x2.0 φ2 0 ≡ x2.0 3 l.0 * ≡ FindRoot 2.5505 l.0 *

x l.0 * w2 l.0 3 ^ F.0 * EI / / x l.0 * I *

x2.0 w2 15.6767 l.0 3^F.0 * EI / *

Equvalent bending moment

x M x M1 2^x M2 2^+ sqrt (:

x l.0 * M F.0 l.0 * / x l.0 * I *

M.max 3 l.0 * M : 8.7727 F.0 l.0 * *

Total angular deflectoion

x φ x φ1 2^x φ2 2^+ sqrt (:

x l.0 * φ F.0 l.0 2 ^ * EI / / x l.0 * I *

x w x w1 2^x w2 2^+ sqrt (:

Total deflection of shaft

x l.0 * w l.0 3 ^ F.0 * EI / / x l.0 * I *

4 l.0 * w 11.3735 l.0 3^F.0 * EI / *

Torque Diagram

x Torque Torque x 0 l.0 * - step * Torque x 2 l.0 * - step * - :

x l.0 * Torque F.0 l.0 * / x l.0 * I *

Equivalent moment, von Mises criteria

x M.eqv x M 2^34 / x Torque (2^* + sqrt (:

x l.0 * M.eqv F.0 l.0 * / x l.0 * I *

M.eqv_max 3.0 l.0 * M.eqv : 8.7727 F.0 l.0 * *

Diameter of shaft

l.0 l.0 :

F.0 F.0 :

x diameter 32 n.s * π S.y * / x M.eqv * (13 /^(:

d.shaft 3 l.0 * diameter 2 round : mm 20

x l.0 * diameter x l.0 * I * 1000 *

d.shaft 50 mm * :

Area moment of inertia of the shaft:

d I π d 4^* 64 / :

d J.o π d 4^* 32 / :

EI E d.shaft I * :

Twist angle of shaft:

d Θ Torque G d J.o * / :

d.shaft Θ deg m / 0.4505

Deflection of the shaft at bearing locations and gears:

0 l.0 * w mm 1.531 1018 -^*

2 l.0 * w mm 0.019

4 l.0 * w mm 0.012

5 l.0 * w mm 2.993 1017 -^*

0 l.0 * φ deg 0.017

4 l.0 * φ deg 0.016

4 l.0 * φ deg 0.016

5 l.0 * φ deg 0.018

Reactions at the bearing locations:

R.Ax kN 4

R.Ay kN 2 -

R.Dy kN 2

R.Az kN 1.8 -

R.Dz kN 3.2

\[PAGENUM[0]]\