<p> ∫Adaptive(f,a,b,N,ε) Carlos </p>

c4d63531-d808-4fe8-b800-bdb33c295eaf 36 4 5 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

data char size clr plot k 1 data rows range r3 k el char : r4 k el size : r5 k el clr : 13 mat for data r3 r4 r5 augment 21 line :

NUMERIC datum 1.241 π 12 round 102030405071 mat :

k Q k' 1 k 2 ^ - sqrt : K 1 1 k' 2 ^ θ sin ( 2 ^ * - sqrt / θ 0 π 2 / int : E 1 k' 2 ^ θ sin ( 2 ^ * - sqrt θ 0 π 2 / int : 1 k 2 ^ / ( E * K - K E - / 4 1 line : datum QSolve 1 > ζ > 0 Δ 1 : ζ 0.5 : 1 2 mat Δ.lim 10 9 - ^ : Δ Δ.lim > β ζ Q datum / : Δ β 1 - abs : ζ ζ β * : 3 1 line while ζ 5 1 line : 1 2 mat collected/adapted from overlord ... Smath Forum solve circular wrt elliptic integrals datum 3 1 line

t0 1 time :

NUMERIC sol datum QSolve vectorize :

sol 0.865962 0.468247 0.22225 0.144328 0.112661 0.094693 0.082842 71 mat

p datum sol augment :

XY p . 14 blue plot :

XY p 2 1 sys

circular sanity sol Q vectorize 1.2410000 3.1415927 10.0000000 20.0000000 30.0000000 40.0000000 50.0000000 71 mat

1 time t0 - 149 s *

X p 1 col : Y p 2 col : 12 mat

Thiele table of inverse differences ... Carlos i 1 Y rows range Table i 1 el Y i el : for j 2 Y rows range i j Y rows range Table i j el X j 1 - el X i el - Table j 1 - j 1 - el Table i j 1 - el - / : cont j : 21 line break try for for i 1 cont range K i el Table i i el : for 31 line

K K 6 round vectorize :

... NUMERIC ...

K 0.865962 4.778772 - 0.776872 - 564.279143 - 0.059479 - 6061.728851 - 0.014515 - 71 mat

isolate/store K K eval :

x λ 10 x ≤ (x 100 ≤ (& cases :

support XY :

Thiele on length of support points 'j' K X x Cfr j K rows 1 - : N j 1 + el K j 1 + el : c j el N j el : a j el K j el : jj j 1 - (1 range c jj el a jj 1 + el : a jj el K jj el x X jj el - c jj el / + : 21 line for a 1 el 61 line :

isolated 'K'

Recast inclusive of
parameters K's , X's x f K X x Cfr :

NUMERIC

SYMBOLIC

user explorer u 45 :

track 1001321 u u f 32 mat :

x f x λ * track support 3 1 sys

u u f 12 mat 45 0.088 12 mat

NOTE about Thiele ... This setup from Carlos works generally well. However, NOT adequate from some data sets. For such cases, we use the original Mathcad code ... not offered here.

h 0.1 :

infinitesimal 1rst derivative x h f D1 x 2 h * + f - 8 x h + f * + 8 x h - f * - x 2 h * - f + 12 h * / (x λ * :

x h f D1 100 0.125 100 0.125 - 2 2 mat 2 1 sys

Thiele supports derivative, however very slow. Alternately, infinitesimal derivative is valid.

CWD C:\SmathFile CurrentDirectory :

X CWD datumX wfile 1

K CWD datumK wfile 1

Export the project ...

K X Clear 1

user length j datum rows :

Thiele on length 'j' of support points K X x Cfr N j 1 + el K j 1 + el : c j el N j el : a j el K j el : jj j 1 - (1 range c jj el a jj 1 + el : a jj el K jj el x X jj el - c jj el / + : 21 line for a 1 el 51 line :

Expandable Thiele wrt X's, K's
Export, enable, set 'j' on length of support points K X x Cfr K 1 el x X 1 el - K 2 el x X 2 el - K 3 el x X 3 el - K 4 el x X 4 el - K 5 el x X 5 el - K 6 el x X 6 el - K 7 el / + / + / + / + / + / +

Both Optimize NONE

X CWD datumX rfile :

K CWD datumK rfile :

X K augment 1.241 0.865962 3.141593 4.778772 - 10 0.776872 - 20 564.279143 - 30 0.059479 - 40 6061.728851 - 50 0.014515 - 72 mat

closely true
sanity 10.16 x f x 050 int 10.17

Jean ... 20221027

<p> ∫Adaptive(f,a,b,N,ε) Carlos </p>

f a b N ε ∫Adaptive sum 0 : i 1 : tol i el ε : aa i el a : h i el b a - (2 / : 51 line .... fa i el a f : fc i el a h i el + f : fb i el b f : s i el h i el fa i el 4 fc i el * + fb i el + (3 / * : L i el 1 : 51 line 13 mat above => initialise the while loop i 0 > fd aa i el h i el 2 / + f : fe aa i el 3 h i el * 2 / + f : 12 mat s1 h i el fa i el 4 fd * + fc i el + 6 / (* : s2 h i el fc i el 4 fe * + fb i el + 6 / (* : 12 mat v1 aa i el : v2 fa i el : v3 fc i el : v4 fb i el : v5 h i el : v6 ε : v7 s i el : v8 L i el : 18 mat i i 1 - : s1 s2 + v7 - abs v6 < sum sum s1 s2 + (+ : v8 N ≥ Solution Insufficient Number of Intervals : i i 1 + : aa i el v1 v5 + : fa i el v3 : fc i el fe : fb i el v4 : 14 mat h i el v5 2 / : tol i el v6 2 / : s i el s2 : L i el v8 1 + : 14 mat i i 1 + : aa i el v1 : fa i el v2 : fc i el fd : fb i el v3 : h i el h i 1 - el : s i el s1 : 16 mat L i el L i 1 - el : 61 line if if 51 line while sum 41 line eval :

ε 1017 -^:

Infinite  limit x f x f :

'N' iterations
precision N 1000 : p 1016 -^: 21 sys

User inputs

lower limit
upper limit a ε : b 50 : 21 sys

t0 1 time :

sanity check f a b N p ∫Adaptive 10.158456937201

1 time t0 - min 1.3