Adaptive Carlos Algorithm

1815d161-583d-412e-a880-e28faf70ce15 3 4 5 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

x f 113600 / 0.8 x * + sqrt / :

0 f 60

x f

Example 1: The extreme difficult

Test function x f x 0.5 1 -^x - exp * :

x c 10 x ≤ (x 0.375 ≤ (& cases :

'N' iterations
precision N 50 : ε 109 -^: 21 sys

lower limit
upper limit a 1015 -^: b 0.1 : 21 sys

t0 1 time :

Adaptive Carlos Algorithm

Initialise the while loop

sum 0 : i 1 : tol i el ε : aa i el a : 14 mat h i el b a - (2 / : fa i el a f : fc i el a h i el + f : fb i el b f : s i el h i el fa i el 4 fc i el * + fb i el + (3 / * : L i el 1 : 71 line

The adaptive while loop i 0 > fd aa i el h i el 2 / + f : fe aa i el 3 h i el * 2 / + f : s1 h i el fa i el 4 fd * + fc i el + 6 / (* : s2 h i el fc i el 4 fe * + fb i el + 6 / (* : v1 aa i el : v2 fa i el : v3 fc i el : v4 fb i el : 14 mat v5 h i el : v6 ε : v7 s i el : v8 L i el : 14 mat i i 1 - : s1 s2 + v7 - abs v6 < sum sum s1 s2 + (+ : v8 N ≥ Solution Insufficient Number of Intervals : i i 1 + : aa i el v1 v5 + : fa i el v3 : fc i el fe : fb i el v4 : h i el v5 2 / : 16 mat tol i el v6 2 / : s i el s2 : L i el v8 1 + : i i 1 + : aa i el v1 : fa i el v2 : 15 mat fc i el fd : fb i el v3 : h i el h i 1 - el : s i el s1 : L i el L i 1 - el : 15 mat 41 line if if Solution sum : 91 line while

Collected algorithm is 14 sec compared to open style  4 sec a b ʃ sum 0 : i 1 : tol i el ε : aa i el a : 14 mat h i el b a - (2 / : fa i el a f : fc i el a h i el + f : fb i el b f : s i el h i el fa i el 4 fc i el * + fb i el + (3 / * : L i el 1 : i 0 > fd aa i el h i el 2 / + f : fe aa i el 3 h i el * 2 / + f : s1 h i el fa i el 4 fd * + fc i el + 6 / (* : s2 h i el fc i el 4 fe * + fb i el + 6 / (* : v1 aa i el : v2 fa i el : v3 fc i el : v4 fb i el : 14 mat v5 h i el : v6 ε : v7 s i el : v8 L i el : 14 mat i i 1 - : s1 s2 + v7 - abs v6 < sum sum s1 s2 + (+ : v8 N ≥ Solution Insufficient Number of Intervals : i i 1 + : aa i el v1 v5 + : fa i el v3 : fc i el fe : fb i el v4 : h i el v5 2 / : 16 mat tol i el v6 2 / : s i el s2 : L i el v8 1 + : i i 1 + : aa i el v1 : fa i el v2 : 15 mat fc i el fd : fb i el v3 : h i el h i 1 - el : s i el s1 : L i el L i 1 - el : 15 mat 41 line if if 91 line while sum 91 line eval :

a b ʃ Solution :

x f x c * b 8 b 2 - 2 2 mat 2 1 sys

Adaptive Quadrature a b ʃ 0.61199131

Observe . . .

1. Test function is the most extreme encountered.

2. NO numerical integrator can give > few decimals.

3. Wolfram 0.611991 ... MCD 0.61199136

4. Experiment the trade off [N, ε]

]]>

1 time t0 - 7 s *

Example 2: The extreme difficult

Test function x f 113600 / 0.8 x * + sqrt / :

x c 10 x ≤ (x 4 ≤ (& cases :

'N' iterations
precision N 50 : ε 109 -^: 21 sys

lower limit
upper limit a 1015 -^: b 4 : 21 sys

t0 1 time :

Adaptive Carlos Algorithm

Initialise the while loop

sum 0 : i 1 : tol i el ε : aa i el a : 14 mat h i el b a - (2 / : fa i el a f : fc i el a h i el + f : fb i el b f : s i el h i el fa i el 4 fc i el * + fb i el + (3 / * : L i el 1 : 71 line

The adaptive while loop i 0 > fd aa i el h i el 2 / + f : fe aa i el 3 h i el * 2 / + f : s1 h i el fa i el 4 fd * + fc i el + 6 / (* : s2 h i el fc i el 4 fe * + fb i el + 6 / (* : v1 aa i el : v2 fa i el : v3 fc i el : v4 fb i el : 14 mat v5 h i el : v6 ε : v7 s i el : v8 L i el : 14 mat i i 1 - : s1 s2 + v7 - abs v6 < sum sum s1 s2 + (+ : v8 N ≥ Solution Insufficient Number of Intervals : i i 1 + : aa i el v1 v5 + : fa i el v3 : fc i el fe : fb i el v4 : h i el v5 2 / : 16 mat tol i el v6 2 / : s i el s2 : L i el v8 1 + : i i 1 + : aa i el v1 : fa i el v2 : 15 mat fc i el fd : fb i el v3 : h i el h i 1 - el : s i el s1 : L i el L i 1 - el : 15 mat 41 line if if Solution sum : 91 line while

Collected algorithm is 14 sec compared to open style  4 sec a b ʃ sum 0 : i 1 : tol i el ε : aa i el a : 14 mat h i el b a - (2 / : fa i el a f : fc i el a h i el + f : fb i el b f : s i el h i el fa i el 4 fc i el * + fb i el + (3 / * : L i el 1 : i 0 > fd aa i el h i el 2 / + f : fe aa i el 3 h i el * 2 / + f : s1 h i el fa i el 4 fd * + fc i el + 6 / (* : s2 h i el fc i el 4 fe * + fb i el + 6 / (* : v1 aa i el : v2 fa i el : v3 fc i el : v4 fb i el : 14 mat v5 h i el : v6 ε : v7 s i el : v8 L i el : 14 mat i i 1 - : s1 s2 + v7 - abs v6 < sum sum s1 s2 + (+ : v8 N ≥ Solution Insufficient Number of Intervals : i i 1 + : aa i el v1 v5 + : fa i el v3 : fc i el fe : fb i el v4 : h i el v5 2 / : 16 mat tol i el v6 2 / : s i el s2 : L i el v8 1 + : i i 1 + : aa i el v1 : fa i el v2 : 15 mat fc i el fd : fb i el v3 : h i el h i 1 - el : s i el s1 : L i el L i 1 - el : 15 mat 41 line if if 91 line while sum 91 line eval :

a b ʃ Solution :

x f x c * 1 4 1 2 - 2 2 mat 2 1 sys

Sanity MCD 4.430663 a b ʃ 4.430663

1 time t0 - 5 s *

x f 1 x 2^0.01 - sqrt / :

'N' iterations
precision N 50 : ε 109 -^: 21 sys

upper limit
lower limit b 0.2 : a 0.1000000000001 : 21 sys

x f a 100 a 32 - 2 2 mat 2 1 sys

a b ʃ 1.317