fb200cb2-2945-4542-ba13-fd5031213d92 292 4 5 false false 0 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

References:

[1] Timoshenko - Vibration Problems in Engineering pag 342

[2]

[3]

t0 1 time :

ρ 8000 kg m 3^/ * :

ν 0.298 :

E 198000 MPa * :

G E 21 ν + (* / :

κ_hollow 21 ν + (43 ν * + / * : 0.5304

Hollow cylinder cross section

mass 0.98 kg m / * :

Isect 2.331 108 -^* m 4^* :

Asect 1.225 104 -^* m 2^* :

L 0.32 m * :

Isect Asect r Isect Asect / (sqrt :

ε κ_hollow :

Isect mass a E Isect mass / * (sqrt :

ω Isect mass β ω 2^Isect mass a 2^/ (4 nthroot :

L Isect Asect α 1 ε / Isect Asect r L / (2^* E G / * :

L Isect Asect γ Isect Asect r L / (2^:

ω Isect Asect mass L A ω Isect mass β L * (4^L Isect Asect α L Isect Asect γ + (* :

ω Isect Asect mass L B ω Isect mass β L * (8^L Isect Asect α (L Isect Asect γ (- (2^* 4 ω Isect mass β L * (4^* (+ (sqrt :

ω Isect Asect mass L η 2 sqrt 2 L * / ω Isect Asect mass L A - ω Isect Asect mass L B + (sqrt * :

ω Isect Asect mass L θ 2 sqrt 2 L * / ω Isect Asect mass L A ω Isect Asect mass L B + (sqrt * :

ω Isect Asect mass L σ1 1 L / ω Isect Asect mass L θ L * L Isect Asect α ω Isect Asect mass L θ L * / ω Isect mass β L * (4^* - (* :

ω Isect Asect mass L σ2 1 L / ω Isect Asect mass L η L * L Isect Asect α ω Isect Asect mass L η L * / ω Isect mass β L * (4^* + (* :

Isect k E Isect * :

ω Isect Asect mass L σ11 ω Isect Asect mass L θ 3^L Isect Asect α L 2^* ω Isect mass β 4^* ω Isect Asect mass L θ * - L Isect Asect γ L 2^* ω Isect mass β 4^* ω Isect Asect mass L σ1 * - (:

ω Isect Asect mass L σ21 ω Isect Asect mass L η 3^L Isect Asect α L 2^* ω Isect mass β (4^* ω Isect Asect mass L η * + L Isect Asect γ L 2^* ω Isect mass β 4^* ω Isect Asect mass L σ1 * + (:

ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L θ (2^L Isect Asect α L 2^* ω Isect mass β (4^* - (:

ω Isect Asect mass L σ21 ω Isect Asect mass L η (3^L Isect Asect α L 2^* ω Isect mass β (4^* ω Isect Asect mass L η * + L Isect Asect γ L 2^* ω Isect mass β (4^* ω Isect Asect mass L σ2 * + (:

ω Isect Asect mass L σ22 ω Isect Asect mass L η (2^L Isect Asect α L 2^* ω Isect mass β (4^* + (:

ω Isect Asect mass L φ11 1 ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + / ω Isect Asect mass L σ22 ω Isect Asect mass L θ L * cos * ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L η L * cosh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ12 1 ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + / ω Isect Asect mass L σ21 ω Isect Asect mass L θ L * (sin * ω Isect Asect mass L σ11 ω Isect Asect mass L η L * (sinh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ13 1 Isect k (ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + (* / ω Isect Asect mass L σ2 - (ω Isect Asect mass L θ L * (sin * ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L η L * (sinh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ14 1 Isect k (ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + (* / ω Isect Asect mass L θ L * cos - ω Isect Asect mass L η L * (cosh + (* :

ω Isect Asect mass L φ21 1 ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + / ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ22 ω Isect Asect mass L θ L * (sin * * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ12 * ω Isect Asect mass L η L * (sinh * - (* :

ω Isect Asect mass L φ22 1 ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + / ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ21 ω Isect Asect mass L θ L * ((cos * * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * ω Isect Asect mass L η L * ((cosh * + (* : #

ω Isect Asect mass L φ23 ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ2 * Isect k (ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + (* / ω Isect Asect mass L θ L * cos - ω Isect Asect mass L η L * (cosh + (* :

ω Isect Asect mass L φ24 1 Isect k (ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + (* / ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L θ L * (sin * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L η L * (sinh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ31 Isect k (ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + (/ ω Isect Asect mass L σ11 ω Isect Asect mass L σ22 * ω Isect Asect mass L θ L * (sin * ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L η L * sinh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ32 Isect k ω Isect Asect mass L σ11 ω Isect Asect mass L σ21 * * - (ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + (/ ω Isect Asect mass L θ L * cos ω Isect Asect mass L η L * (cosh - (* :

ω Isect Asect mass L φ33 1 ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + (/ ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L θ L * cos * ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L η L * ((cosh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ34 1 ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + / ω Isect Asect mass L σ11 - (ω Isect Asect mass L θ L * sin * ω Isect Asect mass L σ21 ω Isect Asect mass L η L * (sinh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ41 Isect k (ω Isect Asect mass L σ12 * ω Isect Asect mass L σ22 * - ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + (/ ω Isect Asect mass L θ L * cos ω Isect Asect mass L η L * (cosh - (* :

ω Isect Asect mass L φ42 Isect k (- ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + (/ ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ21 ω Isect Asect mass L θ L * (sin * * ω Isect Asect mass L σ11 ω Isect Asect mass L σ22 * ω Isect Asect mass L η L * (sinh * - (* :

ω Isect Asect mass L φ43 1 ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ21 * ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ11 * + (/ ω Isect Asect mass L σ2 ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L θ L * (sin * * ω Isect Asect mass L σ1 ω Isect Asect mass L σ22 * ω Isect Asect mass L η L * (sinh * + (* :

ω Isect Asect mass L φ44 1 ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L σ22 + (/ ω Isect Asect mass L σ12 ω Isect Asect mass L θ L * ((cos * ω Isect Asect mass L σ22 ω Isect Asect mass L η L * ((cosh * + (* :

mass 0.98 kg m / * :

Isect 2.331 108 -^* m 4^* :

Asect 1.225 104 -^* m 2^* :

L 0.32 m * :

ω Φ ω Isect Asect mass L φ11 ω Isect Asect mass L φ12 ω Isect Asect mass L φ13 ω Isect Asect mass L φ14 ω Isect Asect mass L φ21 ω Isect Asect mass L φ22 ω Isect Asect mass L φ23 ω Isect Asect mass L φ24 ω Isect Asect mass L φ31 ω Isect Asect mass L φ32 ω Isect Asect mass L φ33 ω Isect Asect mass L φ34 ω Isect Asect mass L φ41 ω Isect Asect mass L φ42 ω Isect Asect mass L φ43 ω Isect Asect mass L φ44 44 mat :

ω detZ ω Isect Asect mass L φ31 ω Isect Asect mass L φ42 * ω Isect Asect mass L φ32 ω Isect Asect mass L φ41 * - :

Ω ω Hz * detZ ω (0 Hz * 60000 Hz * solve (1 * Hz * :

Ω #

13700 Hz * detZ 3.7884 105^* - 2.4706 1012 -^* i * -

32800 Hz * detZ 1.8988 106^* - 2.6708 1011 -^* i * +

55000 Hz * detZ 9.8205 105^* 1.4784 109 -^* i * -

Ω 1 el detZ #

Ω 2 el detZ #

Ω 3 el detZ #

13800 Hz * detZ 89249.5758

32900 Hz * detZ 1.1857 106^* 2.118 1010 -^* i * +

55500 Hz * detZ 2.5669 106^* 1.6664 1010 -^* i * +

s Z s detZ 108^/ :

64 Z 4.8517 105 -^*

roots x Z x 156 - 156 solve :

r roots roots 0 * augment :

x y axes x y / - :

1 time t0 - 15 s *

x Z axes r 3 1 sys

roots 146.969757 - 125.35419 - 102.489328 - 78.918754 - 55.399724 - 32.835643 - 13.713042 - 13.713058 32.835637 55.399718 78.918754 102.489328 125.354186 146.969753 141 mat

1 time t0 - 22 s *

x f x Z :

rootsDichotomy local command line style x0 x1 TOL D a x0 : b x1 : 12 mat xn b a + (2 / : ε TOL : 12 mat n 0 : xn f abs ε > xn f a f * 0 ≤ b xn : a xn : if xn b a + (2 / : n n 1 + : 31 line while xn 21 line 41 line :

on failure , increase TOL TOL 1013 -^:

r 150 - 140 - TOL D 130 - 120 - TOL D 105 - 100 - TOL D 80 - 75 - TOL D 60 - 50 - TOL D 35 - 30 - TOL D 15 - 12 - TOL D 71 mat : 146.969755738974 - 125.354189649224 - 102.489327257499 - 78.918754085898 - 55.399720109999 - 32.835643440485 - 13.713066101074 - 71 mat

1 time t0 - 41 s *