DotNumerics

be8ed228-7b9f-4d88-9521-f6039e697cd5 101 4 5 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Rechnen mit Matrizen und Vektoren

Matrix and vector operations

Vektoren und Matrizen

Vectors and Matrices

Mathematik

Mathematics

Inhalt

Contents

Addition und Subtraktion

Addition and subtraction

Addition und Subtraktion gleich großer Matrizen

123422 mat 3691222 mat + 48121622 mat

123422 mat 3691222 mat - 2 - 4 - 6 - 8 - 22 mat

Elementweise Addition oder Subtraktion einer Zahl

123422 mat 5 + 678922 mat

123422 mat 10 - 9 - 8 - 7 - 6 - 22 mat

Multiplikation mit einer Zahl

Multiplication by a number

123422 mat 3 * 3691222 mat

5123422 mat * 510152022 mat

123422 mat 3 / 0.3333 0.6667 1 1.3333 22 mat

123422 mat 13 / * 0.3333 0.6667 1 1.3333 22 mat

Division durch eine Zahl entspricht der Multiplikation mit derem Kehrwert.

Division by a number is equivalent to multiplication by it's inverse.

Transposition

12345632 mat transpose 13524623 mat

# transpose

trans

Tab

Matrixmultiplikation

Matrix multiplication

12345632 mat 13524623 mat * 5111711253917396133 mat

12345632 mat 123422 mat * 7101522233432 mat

Die Spaltenzahl der ersten Matrix muss gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein.

The number of columns of the left matrix must match the number of rows in the right matrix.

Determinante

Determinant

C a b c d 22 mat :

C det a d * c b * -

# det

det

Tab

A 011022 mat :

A det 1 -

Rang einer Matrix

Rank of a matrix

A 011022 mat :

A rank 2

D a b 2 a * 2 b * 22 mat :

D rank 1

Die numerische Berechnung von Determinante und Rang ist nicht robust, da die Zwischenergebnisse für die interne Zahlendarstellung zu groß werden. Im Einzelfall kann die symbolische Auswertung noch sinnvolle Werte liefern, stößt aber auch an Grenzen der Zahlendarstellung.

The numerical computation of determinant and rank in SMath is not robust, because the intermediate results hit the limit of number representation. In special cases, the symbolic evaluation may provide useful results but also suffers from number representation issues.

A 80488283325307475467584183186963500389805835834665967289639519645180619555175824842199521165939518071010 mat :

Numerische Optimierung numeric optimization A rank #

A det #

symbolische Optimierung symbolic optimization A rank 10

A det 2006726199281670324180903818828000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002^* 16213093592340300000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000165724166765075000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 * /

restart MaximaControl Restart complete

A rank Maxima 10

A determinant Maxima 784894425

Inverse Matrix

Matrix inverse

a b 2 a * 3 b * 22 mat 1 -^3 a / 1 a / - 2 b / - 1 b / 22 mat

A 1 -^0.1 0.145 - 0.119 0.079 - 0.025 - 0.075 0.052 - 0.146 0.016 - 0.146 - 0.043 - 0.063 - 0.038 0.052 - 0.058 0.018 - 0.052 0.09 0.022 0.064 - 0.008 - 0.03 - 0.076 - 0.003 0.016 - 0.077 0.021 0.005 - 0.074 - 0.097 0.01 - 0.025 0.182 - 0.035 - 0.211 0.032 0.042 - 0.016 0.081 - 0.047 0.013 0.003 0.032 - 0.018 0.074 0.016 - 0.024 - 0.108 - 0.049 0.051 0.11 - 0.1 0.15 - 0.031 0.055 0.024 0.02 - 0.045 - 0.042 0.09 0.065 0.076 0.169 0.05 0.288 - 0.138 - 0.136 0.008 - 0.099 0.037 - 0.044 - 0.034 0.066 - 0.096 0.105 0.077 - 0.049 - 0.046 - 0.015 0.076 0.028 - 0 0.094 - 0.033 0.156 0.119 0.068 - 0.064 - 0.082 - 0.009 - 0.063 0.073 0.247 0.046 - 0.304 - 0.052 - 0.079 0.034 0.004 0.043 - 1010 mat

Minor und Algebraisches Kompement

Minor and algebraic complement

5111711253917396133 mat 12 vminor 1139176122 mat

Durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entstehende Untermatrix von M

submatrix with row i and column j deleted.

vminor()

1139176122 mat det 8

5111711253917396133 mat 12 minor 8

Minor. Das ist die Determinante der durch Streichung der Zeile i und der Spalte j entstehenden Untermatrix.

Minor. This is the i,j sub-determinant.

minor()

5111711253917396133 mat 12 alg 8 -

Algebraisches Komplement. Das ist der mit (-1)^(i+j)multiplizierte Minor der Matrix.

Algebraic complement. This is the i,j subdeterminant (minor) multiplied by (-1)^(i+j).

alg()

Beachten Sie, dass vminor() und minor() identische Operatorform haben.

Note that minor() and vminor() have identical operator form.

Spur einer Matrix

Trace of a matrix

5111711253917396133 mat tr 91

Summe der Diagonalelemente

Sum of the diagonal elements

Matrix- und Vektornormen

A 12345632 mat :

b 12331 mat :

Euklidische Norm

Euclidean norm

Referenzimplementierung

Reference implementation

M# norm.e M# transpose M# * tr sqrt :

A norme 9.54

A norm.e 9.54

A transpose norme 9.54

A transpose norm.e 9.54

b norme 3.74

b norm.e 3.74

Spaltensummennorm

L1 (row sum) norm

surrender MaximaControl int(), diff(), sum() and lim() now are native SMath

A norm1 12

M# norm.1 j 1 M# cols range a# j el M# i j el abs i 1 M# rows sum : for a# max 21 line :

A norm.1 12

A transpose norm1 11

A transpose norm.1 11

b norm1 6

b norm.1 6

Zeilensummennorm

Infinity norm (column sum)

A normi 11

M# norm.∞ i 1 M# rows range a# i el M# i j el abs j 1 M# cols sum : for a# max 21 line :

A norm.∞ 11

A transpose normi 12

A transpose norm.∞ 12

b normi 3

b norm.∞ 3

takeover MaximaControl int(), diff(), sum() and lim() now use Maxima

Skalarprodukt von Vektoren

Scalar product of vectors

a a.1 a.2 a.3 31 mat :

b b.1 b.2 b.3 31 mat :

a b * a.1 b.1 * a.2 b.2 * + a.3 b.3 * +

a a * a.1 2^a.2 2^+ a.3 2^+

a 2^a.1 2^a.2 2^+ a.3 2^+

Das Skalarprodukt kann auch als Matrixprodukt ausgedrückt werden. Dabei entsteht dann eine 1x1-Matrix

a transpose b * a.1 b.1 * a.2 b.2 * + a.3 b.3 * + 11 mat

Kreuzprodukt

Cross product

a b † a.2 b.3 * a.3 b.2 * - a.3 b.1 * a.1 b.3 * - a.1 b.2 * a.2 b.1 * - 31 mat

Dyadisches (Tensor-)Produkt

Dyadic product

a b transpose * a.1 b.1 * a.1 b.2 * a.1 b.3 * a.2 b.1 * a.2 b.2 * a.2 b.3 * a.3 b.1 * a.3 b.2 * a.3 b.3 * 33 mat

Eigenwerte und Eigenvektoren

Eigenvalues and Eigenvectors

M 1005050022 mat :

DotNumerics

Mit dem Plugin

Using the plugin

DotNumerics

λ M dn_LinAlgEigenvalues :

λ 120.7107 20.7107 - 21 mat

Eigenwerte

eigenvalues

Φ M dn_LinAlgEigenvectors :

Φ 0.9239 0.3827 - 0.3827 0.9239 22 mat

Eigenvektoren

eigenvectors

Φ transpose M * Φ * 120.7107 5.9863 1015 -^* - 1.1318 1014 -^* - 20.7107 - 22 mat

Φ λ diag * Φ transpose * 1005050 5.392 1015 -^* 22 mat

Spektraldarstellung

spectral representation

M Φ 1 col * 111.5221 46.194 21 mat

Φ 1 col λ 1 el * 111.5221 46.194 21 mat

Maxima

Mit dem Plugin

Using the plugin

Maxima

M eigenvalues Maxima 5012 sqrt - (* 5012 sqrt + (* 1122 mat

M eigenvectors 1 el Maxima 5012 sqrt - (* 5012 sqrt + (* 1122 mat

Eigenvalues

Multiplicity

M eigenvectors 2 el 1 el Maxima 112 sqrt + (- 12 mat

first eigenvector

M eigenvectors 2 el 2 el Maxima 11 - 2 sqrt + 12 mat

second eigenvector

M 2 - i + 0002 - i - 0001 - 33 mat :

M eigenvalues Maxima i - 2 - i 2 - 1 - 11123 mat

M eigenvectors 2 el 1 el Maxima 01013 mat

M eigenvectors 2 el 2 el Maxima 10013 mat

M eigenvectors 2 el 3 el Maxima 00113 mat

Limited translation

The complete list structure returned by eigenvectors() is not yet correctly translated.

M eigenvectors Maxima #

# MaximaLog Request: eigenvectors(matrix([-2+%i,0,0],[0,-(2+%i),0],[0,0,-1]));
Answer: 
(%o20) [[[-%i-2,%i-2,-1],[1,1,1]],[[[0,1,0]],[[1,0,0]],[[0,0,1]]]]
(%i21) 
SMathGet: [[[-i-2;i-2;-1];[1;1;1]];[[[0;1;0]];[[1;0;0]];[[0;0;1]]]]

Numeric procedure for real symmetric matrices

M 12 - 422 - 22 - 642 - 38268444 mat :

Expression for eigenvectors() is too long, therefore the numeric procedure of Maxima needs to be used.

λ M eigens_by_jacobi 1 el Maxima :

λ 1.952 - 7.8257 - 6.3272 13.4505 14 mat

Φ M eigens_by_jacobi 2 el Maxima :

Φ 0.8416 0.0037 0.4651 0.2746 0.3446 0.5103 0.7569 - 0.2188 0.4076 - 0.5693 0.374 0.6082 0.0823 - 0.6446 - 0.2662 - 0.7119 44 mat

Φ λ transpose diag * Φ transpose * 12 - 422 - 22 - 642 - 38268444 mat

Vektoren und Matrizen

Vectors and Matrices

Mathematik

Mathematics

Inhalt

Contents

$Author: mkraska $ $Date: 2013-09-21 13:49:52 +0200 (Sa, 21. Sep 2013) $