<content> <p style="font-family: Courier New; font-size: 8px;">Eigen Vectors</p> </content>

ac1d23b7-3bad-4761-b35c-c9dbae3cc0ac 37 4 5 false false 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

A\032E\ MEigen n A\032E\ rows : C A\032E\ : Id n identity : v n 1 matrix : s v : v 1 el A\032E\ tr : 16 mat E n n matrix : R n 1 - n 1 - matrix : ro 1 n range : check 1 : 14 mat k 2 : k n ≤ k k 1 + : C A\032E\ C v k 1 - el Id * - (* : v k el C tr k / : 12 mat for λ v reverse - 1 stack polyroots : k ro X kOut j 0 : W n 1 - 1 matrix : 12 mat r ro r k ≠ W j j 1 + : el X r el : continue if for W 31 line : X kIn j 0 : W n 1 matrix : 12 mat r ro r k ≠ W r el X j j 1 + : el : W r el 1 : if for W W norme / 31 line : 12 mat v ro el_MEIGENV#_ro num2str concat str2num : u Id k col : v k el 1 : eq A\032E\ v * λ k el v * - kOut : vo v kOut : 14 mat r 1 n 1 - (range : c r : 12 mat R r c el diff(eq r el num2str, vo c el num2str) concat str2num : ε R det 0 ≡ n 1 matrix R 1 -^A\032E\ u * λ k el u * - kOut * - kIn if : E ro k el ε ro el : s k el A\032E\ ε * λ k el ε * - norme : check check R det * eval : 31 line 12 mat 61 line for R det s max TOL sqrt < (* 0 ≡ Matrix don't check. warning 0 if λ E 12 mat 71 line :

RowReducedEchelonForm A\032E\ MRREF nr\0324\ nc\0324\ νr\0324\ νc\0324\ M\0324\ 15 mat A\032E\ MAux : r\0324\ 1 : 12 mat c\0324\ 1 nc\0324\ range m\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : p\0324\ r\0324\ : νc\0324\ c\0324\ nc\0324\ range : 13 mat k\0324\ r\0324\ : k\0324\ nr\0324\ ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : m\0324\ abs M\0324\ k\0324\ c\0324\ el abs < m\0324\ M\0324\ k\0324\ c\0324\ el : p\0324\ k\0324\ : 12 mat 0 if for m\0324\ 0 ≠ H\0324\ 0 : H\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el H\0324\ νc\0324\ el : 14 mat M.RC\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M.RC\0324\ / : 12 mat H\0324\ M\0324\ : H\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el νr\0324\ r\0324\ ≠ M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ νr\0324\ c\0324\ el * - M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el if : M\0324\ H\0324\ : 13 mat r\0324\ nr\0324\ ≡ break r\0324\ r\0324\ 1 + : if 41 line 0 if 31 line for M\0324\ 31 line :

TOL 1010 -^:

Ex 1

A 13 - 335 - 366 - 433 mat :

λ M 12 mat A MEigen : 2 - 2 - 431 mat 0.4082 0.2673 0.4082 0.4082 - 0.8018 0.4082 0.8165 - 0.5345 0.8165 33 mat 12 mat

RowEchelonForm A\032E\ MREF nr\0324\ nc\0324\ νr\0324\ νc\0324\ M\0324\ 15 mat A\032E\ MAux : r\0324\ 1 : 12 mat c\0324\ 1 nc\0324\ range m\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : p\0324\ r\0324\ : νc\0324\ c\0324\ nc\0324\ range : 13 mat k\0324\ r\0324\ : k\0324\ nr\0324\ ≤ k\0324\ k\0324\ 1 + : m\0324\ abs M\0324\ k\0324\ c\0324\ el abs < m\0324\ M\0324\ k\0324\ c\0324\ el : p\0324\ k\0324\ : 12 mat 0 if for m\0324\ 0 ≠ H\0324\ 0 : H\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el : M\0324\ p\0324\ νc\0324\ el H\0324\ νc\0324\ el : 14 mat M.RC\0324\ M\0324\ r\0324\ c\0324\ el : M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M.RC\0324\ / : 12 mat H\0324\ M\0324\ : H\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el νr\0324\ r\0324\ ≠ M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el M\0324\ r\0324\ νc\0324\ el M\0324\ νr\0324\ c\0324\ el * - M\0324\ νr\0324\ νc\0324\ el if : M\0324\ H\0324\ : 13 mat r\0324\ nr\0324\ ≡ break r\0324\ r\0324\ 1 + : if 41 line 0 if 31 line for M\0324\ 31 line :

A M * M λ diag * - norme 1.9 107 -^*

B A M * :

B is the matrix for change basis

B λ diag * B 1 -^* 13 - 335 - 366 - 433 mat

A dn_LinAlgEigenvalues 42 - 1.1047 1015 -^* i * + 2 - 1.1047 1015 -^* i * - 31 mat

Numerical issues in
dotNumerics library

A dn_LinAlgEigenvectors 0.4082 - 0.244 0.407 i * - 0.244 0.407 i * + 0.4082 - 0.4162 - 0.407 i * - 0.4162 - 0.407 i * + 0.8165 - 0.6602 - 0.6602 - 33 mat

Ex 2

A 011 - 1101 - 0133 mat :

λ M 12 mat A MEigen : 1 - 1231 mat 0.8165 0 0.5774 - 0.4082 - 0.7071 0.5774 - 0.4082 0.7071 0.5774 33 mat 12 mat

A M * M λ diag * - norme 2.4 1015 -^*

B A M * :

B λ diag * B 1 -^* 7.8951 1016 -^* 11 - 11 7.2831 1016 -^* - 1 - 1.5156 1015 -^* 133 mat

B is the matrix for change basis

A dn_LinAlgEigenvalues 1 - 2131 mat

A dn_LinAlgEigenvectors 0.8165 0.5774 - 1.5701 1016 -^* 0.4082 - 0.5774 - 0.7071 0.4082 0.5774 0.7071 33 mat

Ex 3

A 13 - 335 - 366 - 433 mat :

λ M 12 mat A MEigen : 2 - 2 - 431 mat 0.4082 0.2673 0.4082 0.4082 - 0.8018 0.4082 0.8165 - 0.5345 0.8165 33 mat 12 mat

A M * M λ diag * - norme 1.9 107 -^*

B A M * :

B is the matrix for change basis

B λ diag * B 1 -^* 13 - 335 - 366 - 433 mat

A dn_LinAlgEigenvalues 42 - 1.1047 1015 -^* i * + 2 - 1.1047 1015 -^* i * - 31 mat

Numerical issues in
dotNumerics library

A dn_LinAlgEigenvectors 0.4082 - 0.244 0.407 i * - 0.244 0.407 i * + 0.4082 - 0.4162 - 0.407 i * - 0.4162 - 0.407 i * + 0.8165 - 0.6602 - 0.6602 - 33 mat

A M * 0.8165 - 0.5345 - 1.633 0.8165 1.6036 - 1.633 1.633 1.069 - 3.266 33 mat

λ diag 2 - 0002 - 000433 mat

Ex 4

General Numerical Issues

A 0100 u 2^- 2 u * 00 u s * - s u 0 u t * - t 0 u 44 mat :

u 1 :

s 2 :

t 3 :

This value gives an error u 5 :

w u 1 u 2^+ sqrt / :

λ M 12 mat A MEigen : 0.9998 0.0002 i * + 0.9998 0.0002 i * - 1.0002 0.0002 i * + 1.0002 0.0002 i * - 41 mat 0.2582 0.2582 4.0545 105 -^* i * + 00 0.2582 4.0531 105 -^* i * + 0.2582 00 0.5164 8.1063 105 -^* i * + 0.5164 8.109 105 -^* i * + 10 0.7746 0.0001 i * + 0.7746 0.0001 i * + 0144 mat 12 mat

A M * M λ diag * - norme 0

Exact solution have only
3 indep eigenvectors

λ u u u u 41 mat : 111141 mat

M w u / w u / 00 w w 000010000144 mat : 0.7071 0.7071 00 0.7071 0.7071 000010000144 mat

A M * M λ diag * - norme 0

Dot numerics
values

A dn_LinAlgEigenvalues 111141 mat

A dn_LinAlgEigenvectors 00 0.2887 0.1449 - 00 0.2887 0.1449 - 10 0.4082 0.4947 - 01 0.8165 0.8445 - 44 mat

Ex 5

Non invertible matrix

A 110122 mat :

λ M 12 mat A MEigen : 1121 mat 000022 mat 12 mat

Fails for eivenvectors.

Dot numerics values

A dn_LinAlgEigenvalues 1121 mat

A dn_LinAlgEigenvectors 11 - 0 2.2204 1016 -^* 22 mat

Alvaro