Метод Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага

c65db48c-4ae6-4fc4-9877-df75f633add4 107 Метод Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага Кирилл Николаев, Андрей Ивашов Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта пятого порядка с автоматическим выбором шага. Пользователь определяет коэффициенты исходного дифференциального уравнения, задачу Коши, границы отрезка и точность работы метода. Программа преобразовывает коэффициенты уравнения к системе и проводит вычисления по методу Рунге-Кутта пятого порядка. При этом автоматически определяется оптимальный шаг работы алгоритма с учётом требуемой точности. После вычислений с помощью функций интерполяции кубическими сплайнами строятся графики численного решения. SMath, http://smath.info/ Примеры, Метод Рунге-Кутта, Дифференциальные уравнения, Графики Metode Runge–Kutta orde lima dengan langkah adaptif Kirill Nikolaev, Andrey Ivashov Waluyo Adi Siswanto Penyelesain persamaan diferensial biasa menggunakan metode Runge-Kutta dengan langkah adaptif. Pengguna perlu menyatakan koefisien dari persamaan asal, angka awal Cauchy (persoalan bilangan awal atau initial value problem), panjang langkah serta keakuratan perhitungan. Program akan merubah persmaan asal menjadi satu sistem persamaan simultan kemudian memulai evaluasi dengan metode Runge–Kutta orde lima. Algoritma secara otomatis memilih langkah optimal iterasi agar memperoleh keakuratan yang diinginkan. Setelah selesai perhitungan, program menggambarkan grafik penyelasaian numerik dari hasil interpolasi kubik data. SMath, http://smath.info/ Contoh, Metode Runge-Kutta, Persamaan diferensial, Grafik Fifth-order Runge–Kutta method with adaptive step Kirill Nikolaev, Andrey Ivashov Andrey Ivashov Solution of ordinary differential equations using Fifth-order Runge–Kutta method with adaptive step. User defines initial equation coefficients, a Cauchy problem (initial value problem), segment limits and calculations precision. Program converts equation to the system of equations and starts evaluation with the Fifth-order Runge–Kutta method. Algorithm automatically choose the optimal step of the iterations in respect to the specified accuracy. After calculations program represents the graphs of numeric solution using cubic splines interpolation. SMath, http://smath.info/ Examples, Runge-Kutta Method, Differential equations, Graphs 4 5 false false false 0 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Runge-Kutta Method, Butcher Tablau

Initial value problem

t u D t u' ≡ to u uo ≡ 21 sys

t u' t u'.1 t u'.2 … t u'.n 41 mat ≡

where

Butcher tablau for explicit and implicit methods:

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Runge%E2%80%93Kutta_methods

0 │ \0020\.\0020\ \0020\ \0020\ \0020\ \0020\ c.2 │ a.21 \0020\ \0020\ \0020\ \0020\ c.3 │ a.31 a.32 \0020\ \0020\ \0020\ … │ … … … \0020\ \0020\ c.s │ a.s1 a.s2 … a.s\002C\s\002D\1 \0020\ ─── ─┼─ ─── ─── ─── ─── ─── \0020\ │ b.1 b.2 … b.s\002D\1 b.s \0020\ │ b\002A\.1 b\002A\.2 … b\002A\.s\002D\1 b\002A\.s 87 mat

c.1 │ a.11 a.12 … a.1\002C\s\002D\1 a.1s c.2 │ a.21 a.22 … a.2\002C\s\002D\1 a.2s c.3 │ a.31 a.32 … a.3\002C\s\002D\1 a.3s … │ … … … … … c.s │ a.s1 a.s2 … a.s\002C\s\002D\1 a.ss ─── ─┼─ ─── ─── ─── ─── ─── \0020\ │ b.1 b.2 … b.s\002D\1 b.s \0020\ │ b\002A\.1 b\002A\.2 … b\002A\.s\002D\1 b\002A\.s 87 mat

Algorithm

uo to te N 2 D M ε RK s M cols 1 - : σ 2 s range : s1 1 s range : flag 1 : 14 mat A M s1 1 s1 + el : b M s 1 + 1 s1 + el : b b transpose : c M 1 s range 1 el : 14 mat kr 1 : kr A rows ≤ kr kr 1 + : kc kr 0 + : kc A cols ≤ kc kc 1 + : IorE A kr kc el 0 ≠ (: break if for for s 1 + M rows < b\002A\ M s 2 + 1 s1 + el : b\002A\ 0 : if IorE σ s s : σ s σ 1 - : if A length 1 ≡ σ 1 : σ s 1 : 12 mat 0 if 13 mat t to : T t : u uo 1 uo rows range el : U u : 14 mat ho te to - N / eval : h ho : ko s 1 matrix eval : 13 mat flag k t u D 11 mat : k s el 0 : 12 mat k σ el t h c σ el * + u h A σ n el k n el * n 1 σ s sum * + D : IorE ¬ ToDo: Implicit methods here. if un u h b n el k n el * n 1 s sum * + eval : b\002A\ 0 ≠ (t to > (& h b\002A\ n el b n el - (k n el * n 1 s sum * normi ε > t t h - : h 0.5 h * : 12 mat h ho : T U u 13 mat T t stack U un augment un 13 mat eval : 21 line if T U u 13 mat T t stack U un augment un 13 mat eval : if flag t h + te < (& t t h + : flag 0 : t te : 12 mat if 61 line while T U transpose augment 81 line :

uo to te N 2 D M RK uo to te N t# u# D M 0 RK 11 line :

<content> <p>Examples</p> </content>

ODE system

t u D u 1 el 12 / u 1 el u 2 el + (* - u 2 el 12 / u 1 el u 2 el + (* 21 mat :

uo 1221 mat :

to 0 :

te 4 :

N 100 :

ε 105 -^:

Shorthands

R2 uo to te 200 t u D Rkadapt :

BT N RK uo to te N t u D BT RK :

BT N ε RK uo to te N t u D BT ε RK :

Some stuff

RK Good n NI k ΔU 12 mat 2 RK rows 1 - (range 012 mat : ΔU k el RK k n el R2 1 col R2 n col RK k 1 el cinterp - : normi 21 line : 2 NI 3 NI 12 mat 10100 -^+ log10 1 round - vectorize 1 + 21 line :

XP1 XYP1'XAxis : YP1 XYP1'YAxis : XP2 XYP2'XAxis : YP2 XYP2'YAxis : 41 line

n M a b 12 mat R2 n col min R2 n col max 12 mat : a 0.1 b a - (* - b 0.1 b a - (* + 12 mat eval 21 line :

\007B\XP1\007D\'Min \007B\XP1\007D\\0027\Max \007B\YP1\007D\\0027\Min \007B\YP1\007D\\0027\Max 22 mat 1 M 2 M stack :

\007B\XP2\007D\'Min \007B\XP2\007D\\0027\Max \007B\YP2\007D\\0027\Min \007B\YP2\007D\\0027\Max 22 mat 1 M 3 M stack :

First-order methods

BT 000122 mat :

│
│

RK uo to te N t u D BT RK :

Euler

─────

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3212 mat

Second-order methods

α BT 000 α α 00112 α * / - 12 α * / 33 mat :

│
│
│
│
│

────────────────

BT 12 / BT : 00012 / 12 / 000133 mat

RK uo to te N t u D BT RK :

Explicit midpoint method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 1 BT : 000110012 / 12 / 33 mat

RK uo to te N t u D BT RK :

Heun's method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 23 / BT : 00023 / 23 / 0014 / 34 / 33 mat

RK uo to te N t u D BT RK :

Ralston's method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.5 12 mat

Third-order methods

α β BT 0000 α 000 β β α / β 3 * α * α 1 - (* 3 α * 2 - / * β α / β α - 3 α * 2 - / * - 0013 α * 3 β * + 2 - 6 α * β * / - 3 β * 2 - 6 α * β α - (* / 23 α * - 6 β * β α - (* / 44 mat :

│
│
│
│
│
│
│

─────────────────────────────────────────────

BT 13 / 23 / BT : 000013 / 00023 / 89 / 23 / 0014 / 034 / 44 mat

RK BT N RK :

Kutta's third-order method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 2.9 112 mat

BT 12 / 34 / BT : 000012 / 00034 / 2716 / 34 / 0029 / 13 / 49 / 44 mat

RK BT N RK :

Ralston's third-order method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.1 12 mat

BT 85 / 23 / BT : 000085 / 00023 / 27 / 536 / 0014 / 034 / 44 mat

RK BT N RK :

Van der Houwen's/Wray's third-order method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.9 12 mat

BT 112 / BT : 0000100012 / 014 / 0016 / 16 / 23 / 44 mat

RK BT N RK :

Third-order Strong Stab. Preserving RK (SSPRK3)

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 2.4 12 mat

Fourth and Fifth-order methods

BT 0000013 / 13 / 00023 / 13 / - 100111 - 10018 / 38 / 38 / 18 / 55 mat :

│
│
│
│
│
│
│
│
│

RK BT N RK :

Original Runge–Kutta method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

────────────────

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 000000013 / 13 / 0000025 / 425 / 625 / 0000114 / 3 - 154 / 00023 / 227 / 109 / 5081 / - 881 / 0045 / 225 / 1225 / 215 / 875 / 00023192 / 0125192 / 02764 / - 125192 / 77 mat :

│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│

RK BT N RK :

Nyström's fifth-order method

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

────────────────────────

RK Good 3 1.5 12 mat

Embedded methods

BT 000110012 / 12 / 01043 mat :

│
│
│
│
│
│

RK BT N 0.001 RK :

Heun–Euler

────────

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 000012 / 12 / 0011256 / 255256 / 001256 / 255256 / 001512 / 255256 / 1512 / 54 mat :

│
│
│
│
│
│
│
│
│
│

RK BT N ε RK :

Fehlberg RK12

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

──────────────────

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 0000012 / 12 / 00034 / 034 / 00129 / 13 / 49 / 0029 / 13 / 49 / 00724 / 14 / 13 / 18 / 65 mat :

│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│

RK BT N ε RK :

Bogacki–Shampine

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

──────────────

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 000000014 / 14 / 0000038 / 332 / 932 / 00001213 / 19322197 / 72002197 / - 72962197 / 0001439216 / 8 - 3680513 / 8454104 / - 0012 / 827 / - 235442565 / - 18594104 / 1140 / - 0016135 / 0665612825 / 2856156430 / 950 / - 255 / 025216 / 014082565 / 21974104 / 15 / - 087 mat :

│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│

RK BT N ε RK :

RK-Fehlberg

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys

─────────────────────────────────────────

RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 000000015 / 15 / 00000310 / 340 / 940 / 000035 / 310 / 910 / - 65 / 00011154 / - 52 / 7027 / - 3527 / 0078 / 163155296 / 175512 / 57513824 / 44275110592 / 2534096 / 0037378 / 0250621 / 125594 / 05121771 / 0282527648 / 01857548384 / 1352555296 / 27714336 / 14 / 87 mat :

RK BT N ε RK :

Cash-Carp

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.5 12 mat

BT 0000000015 / 15 / 000000310 / 340 / 940 / 0000045 / 4445 / 5615 / - 329 / 000089 / 193726561 / 253602187 / - 644486561 / 212729 / - 000190173168 / 35533 / - 467325247 / 49176 / 510318656 / - 00135384 / 05001113 / 125192 / 21876784 / - 1184 / 0035384 / 05001113 / 125192 / 21876784 / - 1184 / 00517957600 / 0757116695 / 393640 / 92097339200 / - 1872100 / 140 / 98 mat :

RK BT N ε RK :

Dormand–Prince

RK 1 col RK 2 col augment R2 1 col R2 2 col augment 2 1 sys RK 1 col RK 3 col augment R2 1 col R2 3 col augment 2 1 sys

RK Good 3 1.5 12 mat

Alvaro

4 appVersion 1.73.9126.0