Conics

71c3cef5-3cc0-44c9-90c5-ea4c3de4e71a 685 4 5 false false 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

Conics

CONIC Procedures α Σ CON NP big tol rng 14 mat CON : small 1 big / : n.12 12 range : n.16 16 range : n.p 1 NP range : 15 mat M 66 matrix : β 16 matrix : Χ 0 : T 0 : nΨ 119 range : 15 mat Ψ Eccentricity LatusRectum Angle Center Vertex stack : Ψ Ψ MajorAxisLength MinorAxisLength LinearEccentricity stack : Ψ Ψ Focus ε l φ O V a b c Φ Type stack : a b c PL a abs tol < P big - c b / - big c b / - 14 mat : b abs tol < P c a / - big c a / - big - 14 mat : P big - c a big * - b / - big c a big * + b / - 14 mat : if if P 1 el P 2 el 12 mat P 3 el P 4 el 12 mat stack eval 21 line : xo εo l φ R Ω t PC τ 1 εo t cos * + : l t cos t sin 12 mat * τ τ 0 ≡ (tol * + / xo 012 mat + (R * Ω + eval 21 line : a b np RNG v 0 : n 1 np range : v n el a b a - np 1 - / n 1 - (* + : 13 mat v 21 line : Σ εlφO ≡ α 1 el α 2 el α 3 el α 4 el rng 15 mat Plot CON 5PCon CON Σ 3PHyp ≡ ToDo Σ 4PPar ≡ ToDo - Newton's Problem Σ Plot ≡ (α cols 5 ≡ (& ε l φ Ω T 15 mat α : n.p 1 T length range : ε 1 - abs tol > εo ε : xo l ε * 1 ε 2^- / : 12 mat εo 1 - : xo 0.5 l * : 12 mat if 13 mat Χ n.p n.12 el xo εo l φ φ cos φ sin φ sin - φ cos 22 mat Ω T n.p el PC n.12 el : 21 line Σ 5PCon ≡ n 15 range M n 1 + n.16 el α n 1 el (2^α n 1 el α n 2 el * α n 2 el (2^α n 1 el α n 2 el 116 mat n.16 el : β n.16 el M 1 n.16 alg : 21 line for 100 β β abs vectorize max / * 21 line A B C D E F 16 mat α : I A C + A 0.5 B * 0.5 B * C 22 mat det A 0.5 B * 0.5 D * 0.5 B * C 0.5 E * 0.5 D * 0.5 E * F 33 mat det 13 mat : 12 mat I 3 el abs tol > σ A C - (2^B 2^+ sqrt I 3 el sign / : φ B abs tol > A C - σ - B / atan - 0 if : s.φ φ sin : c.φ φ cos : 21 mat R c.φ s.φ s.φ - c.φ 22 mat : 14 mat ε 2 σ * σ I 1 el - / abs sqrt : Type H P E 13 mat ε 1 > (2 ε 1 ≡ (* + 3 ε 1 < (* + el : 12 mat I 2 el abs tol > l 1 ε 2^- A C + σ + / abs 8 I 3 el * A C + σ - / abs sqrt * : Ω B E * 2 C * D * - D B * 2 A * E * - 12 mat 4 I 2 el * / : 12 mat a l 1 ε 2^- abs / : b l 1 ε 2^- abs sqrt / : c l ε * 1 ε 2^- / abs : d a 2^c / : 14 mat x y RT Ω x y 12 mat R * - Ω x y 12 mat R * + stack : Va a 0 RT : Vb 0 b RT : Φ c 0 RT : εo ε : xo l ε * 1 ε 2^- / : 15 mat ε 1 > t.1 1 ε / small - acos : t.2 1 ε / small + acos : 12 mat 0 if 51 line u A abs sqrt : v C abs sqrt : 12 mat D abs E abs > τ u D * v E * + 2 A C + (* / : Ω v τ 2^* - E τ * + v F * - u τ 2^* D τ * - u F * + 12 mat v D * u E * - / : 12 mat τ v E * u D * - 2 A C + (* / : Ω v τ 2^* E τ * - v F * + u τ 2^* D τ * + u F * + 12 mat v D * - u E * - / : 12 mat if l I 3 el I 1 el (3 -^* abs sqrt : Φ Ω l 2 / 012 mat R * + : d l 2 / - : εo 1 - : xo l 2 / : 15 mat 31 line if 31 line Type ToDo - Degenerate Conic : if Σ Plot ≡ ε 1 < T 02 π * NP RNG : ε 1 > T π t.1 - π - t.1 + 0.5 NP * RNG π t.2 - π t.2 + 0.5 NP * RNG stack : T small π - π small - NP RNG : if if Χ n.p n.12 el xo εo l φ R Ω T n.p el PC n.12 el : 21 line Σ Points ≡ Φ Ω stack Φ Va Ω Vb stack 12 mat 1 I 2 el abs tol > (+ el Σ Directrix ≡ I 2 el abs tol > Da c.φ s.φ c.φ Ω 1 el * - s.φ Ω 2 el * - d - PL : Db c.φ s.φ c.φ Ω 1 el * - s.φ Ω 2 el * - d + PL : Da Db reverse stack 31 line c.φ s.φ c.φ Ω 1 el * - s.φ Ω 2 el * - d - PL if Σ Assimptotes ≡ ε 1 > Aa ε l φ Ω π t.1 - π t.2 - 12 mat 15 mat Plot CON : Ab ε l φ Ω π t.1 + π t.2 + 12 mat 15 mat Plot CON : Aa Ab stack 31 line if Σ Axis ≡ Aa s.φ - c.φ s.φ Ω 1 el * c.φ Ω 2 el * - PL : Ab c.φ s.φ c.φ Ω 1 el * - s.φ Ω 2 el * - PL : Aa Ab stack 31 line Σ Values ≡ ε l φ 13 mat ε l φ a b c d 17 mat 12 mat 1 I 2 el abs tol > (+ el Ψ nΨ 2 el ε l φ Ω Ω a b c Φ ε l φ Ω Ω a b c Φ Type 119 mat nΨ el : Ψ Σ 1 findrows 12 el 21 line if if if if if if 31 line if if if if if 91 line :

[NPoints to plot, A big number, Tolerance, Range for 5 Points] CON 12010001012 -^14 / 2.1 - 2 range * 14 mat :

Gallery

Hyperbola given the general equation coeffs

α 7 - 2 3 5 2 - 1 1 6 mat : α Plot CON α Points CON α Directrix CON α Axis CON α Assimptotes CON α Points CON o augment 6 1 sys 2 1 line

Ellipse given the general equation coeffs

α 3 1 - 2 1 4 3 - 1 6 mat : α Plot CON α Points CON α Directrix CON α Axis CON α Assimptotes CON α Points CON o augment 6 1 sys 2 1 line

Parabola given the eccentricity, the latus rectum, the rotation angle and the vertex

α 1 7 30 ° * 3 4 1 2 mat 1 4 mat εlφO CON : α Plot CON α Points CON α Directrix CON α Points CON o augment 4 1 sys 2 1 line

Hyperbola gieven the eccentricity, the latus rectum, the rotation angle and the center

α 3 7 30 ° * 3 4 1 2 mat 1 4 mat εlφO CON : α Plot CON α Points CON α Directrix CON α Points CON o augment 4 1 sys 2 1 line Example: E or H given Φ, Φ', P

Draw the Conic Given by the Foci and one Point

Φ 4 - 2 - 12 mat :

Φ' 8112 mat :

P 6412 mat :

ν 1 - :

Choose ν=1 for an E or ν=-1 for an H

Angle

φ Φ' 2 el Φ 2 el - Φ' 1 el Φ 1 el - / atan : ° 14.0362

Linear eccentricity

c Φ Φ' - norme 2 / : 6.1847

Major Axis Length

a P Φ - norme ν P Φ' - norme * + 2 / : 4.0282

Other elements

ε c a / :

l a 1 ε 2^- abs * :

O Φ Φ' + 2 / :

α ε l φ O 14 mat εlφO CON : Π α Plot CON α Points CON α Assimptotes CON Φ Φ' P stack o augment 41 sys : 21 line

α Focus CON 4 - 2 - 8122 mat

Example: E or H given Φ, δ, a

Draw the Conic Given by the a Foci, it's directrix and the semi major axis length.

x y Clear 1

Φ 5 - 612 mat :

δ 2 x * 3 y * + 1 - :

a 2 :

ν 1 - :

Choose ν = (-1, 1) for (H, E)

Directrix coeffs

x y δ δ :

a.δ b.δ c.δ 13 mat δ x diff δ y diff 00 δ 13 mat : 231 - 13 mat

Angle

φ b.δ a.δ / atan : ° 56.3099

Axis slope = -1/δ slope

R φ cos φ sin φ sin - φ cos 22 mat :

Focal Parameter

p Φ 1 el Φ 2 el δ a.δ 2^b.δ 2^+ sqrt / abs : 1.9415

Φ δ Distance

Linear Eccentricity

O δ Distance

equals

a 2^c / c ν p * + ≡

then

c a 2^- ν p * 113 mat transpose polyroots : 1.2524 - 3.1939 21 mat

c ν 1 ≡ c abs vectorize min c abs vectorize max if : 3.1939

Other elements

ε c a / :

l p ε * :

O Φ ν c * 012 mat R * + :

α ε l φ O 14 mat εlφO CON : Π α Plot CON α Points CON α Assimptotes CON O Φ stack o augment 41 sys : 21 line

α Focus CON 8.5433 - 0.6851 5 - 622 mat

α a CON 2

Example: P, E or H given O, Φ, ε

Draw the Conic Given by the Center (or the Vertex, if ε=1), a Foci and the eccentricity

O 1 - 312 mat :

Φ 2412 mat :

ε 0.4 :

Angle

φ O 2 el Φ 2 el - O 1 el Φ 1 el - / atan : ° 18.4349

Linear ecc. and latus rectum

c O Φ - norme : 3.1623

l ε 1 ≡ 2 c * c 1 ε 2^- abs ε / * if : 6.6408

α ε l φ O 14 mat εlφO CON : Π α Plot CON α Points CON α Assimptotes CON O Φ stack o augment 41 sys : 21 line

α Center CON 1 - 312 mat

α Focus CON 4 - 22422 mat

α ε CON 0.4

Example: P given Φ, δ

Draw the Parabola given by the a Foci and directrix.

x y Clear 1

Φ 8 - 612 mat :

δ 7 x * 3 y * + 1 - :

ε 1 :

Directrix coeffs

x y δ δ :

a.δ b.δ c.δ 13 mat δ x diff δ y diff 00 δ 13 mat : 731 - 13 mat

Angle

φ b.δ a.δ / atan : ° 23.1986

R φ cos φ sin φ sin - φ cos 22 mat :

Latus rectum and Vertice

l Φ 1 el Φ 2 el δ a.δ 2^b.δ 2^+ sqrt / abs : 5.121

V Φ l 2 / 012 mat R * - : 10.3534 - 4.9914 12 mat

α ε l φ V 14 mat εlφO CON : Π α Plot CON α Points CON α Directrix CON V Φ stack o augment 41 sys : 21 line

α Focus CON 8 - 612 mat

α Vertex CON 10.3534 - 4.9914 12 mat

Example: Five Points Conic

Enter Five Points

P.1 1 - 322 - 3 - 2413352 mat :

α P.1 5PCon CON : Π.1 α Plot CON α Points CON P.1 o augment 31 sys : 21 line

P.2 123 - 442 - 141 - 152 mat :

α P.2 5PCon CON : Π.2 α Plot CON α Points CON P.2 o augment 31 sys : 21 line

Π.1 Π.2

Alvaro