Numerical Inverse Laplace Transform

c1a2a71c-d990-4f06-9a0d-8d7195bbce88 559 4 5 false false 0 decimal

&[DATE] &[TIME] - &[FILENAME]

MNA Solver

Based on algorithm of Oscar: https://en.smath.info/forum/yaf_postst1341_Signals-and-Systems.aspx

1 F t.i t.e N a ns nd ILap t N 1 matrix : ft t : 12 mat U t.e t.i - UnitsOf : m ns nd + 1 + : 12 mat t.o 105 -^U * t.i 12 mat max eval : Δt t.e t.o - N 1 - / : 12 mat α m 1 matrix : β α : γ nd 1 matrix : 13 mat n 1 m range : α n el a n 1 - (π * i * + eval : β n el 1 - (n 1 +^: 13 mat n h nd 1 + Γ 2 nd^nd 2 + n - Γ * n Γ * / eval : n 2 nd range : γ 1 el 1 h : γ n el n h γ n 1 - el + : 13 mat n ns 3 + (m range : β 1 el 0.5 β 1 el * : β n el β n el γ m n - 1 + el * : 13 mat α α : β e a^β * eval : 12 mat k 1 N range t k el t.o k 1 - (Δt * + : st α t k el / : βt β t k el / : 13 mat ft k el βt st F * Re vectorize eval sum : 21 line for t ft augment eval 111 line :

1 FF t t.i t.e N ILap FT s# FF t.i t.e N ILap 1 el ILap 2 el ILap 3 el ILap : U FT 11 el UnitsOf FT 12 el UnitsOf 12 mat : U 2 el FT 1 col U 1 el / FT 2 col U 2 el / t U 1 el / cinterp * t.i t ≤ (* t t.e ≤ (* 31 line :

ILap 6201913 mat :

a ns nd 13 mat

Γ.κ 0.99999999999999709182 57.156235665862923517 59.597960355475491248 - 14.136097974741747174 0.49191381609762019978 - 0.33994649984811888699 104 -^* 0.46523628927048575665 104 -^* 0.98374475304879564677 104 -^* - 0.15808870322491248884 103 -^* 0.21026444172410488319 103 -^* - 0.21743961811521264320 103 -^* 0.16431810653676389022 103 -^* - 0.84418223983852743293 104 -^* 0.26190838401581408670 104 -^* - 0.36899182659531622704 105 -^* 151 mat :

ζ Γ z ζ 1 - : zh 1 - 2 ζ * + 2 / : zg zh 607128 / + : 13 mat 2 π * sqrt zg 0.5 zh *^(2^* e zg^/ Γ.κ 1 el Γ.κ κ 1 + el z κ + / κ 114 sum + (* eval 21 line :

Valid for Re(ζ)>0

Heaviside x Φ 1 x sign + 2 / :

MNA STAMPS

AC simulation

Resistor

MNA.AC R 21 v / 1 v / - 1 v / - 1 v / 22 mat 0021 mat 0021 mat 15 mat :

v R ≡

Capacitor

MNA.AC MNA.AC C 2 s v * s v * - s v * - s v * 22 mat 0021 mat 0021 mat 15 mat stack :

v C ≡

Inductor

MNA.AC MNA.AC L 21 s v * / 1 s v * - / 1 s v * - / 1 s v * / 22 mat 0021 mat 0021 mat 15 mat stack :

v L ≡

Current source

MNA.AC MNA.AC I 2000022 mat v - v 21 mat 0021 mat 15 mat stack :

check signs

v I ≡

Voltage source

MNA.AC MNA.AC V 2001001 - 11 - 033 mat 00 v 31 mat 00 I 31 mat 15 mat stack :

v V ≡

Power source

MNA.AC MNA.AC P 21 v 1 el / 1 v 1 el / - 1 v 1 el / - 1 v 1 el / 22 mat 8 v 2 el * v 1 el / sqrt 8 v 2 el * v 1 el / sqrt - 21 mat 0021 mat 15 mat stack :

v 1 el R ≡

Figures frome QUCS online help

v 2 el P ≡

OpAmp

MNA.AC MNA.AC O 3000000010000101 - 044 mat 000041 mat 000 I 41 mat 15 mat stack :

VCCS

MNA.AC MNA.AC G 4000000000100001 - 000001001 - 1 v / - 55 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v G ≡

CCCS

MNA.AC MNA.AC F 400001 v / 0000100001 - 00001 v / - 1001 - 055 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v G ≡

VCVS

MNA.AC MNA.AC E 40000000001 - 0000100000 v 1 - 1 v - 055 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v G ≡

CCVS

MNA.AC MNA.AC H 4000010000001 - 00000100001 - 0011 - 0 v - 01001 - 0066 mat 00000061 mat 0000 Iin Iout 61 mat 15 mat stack :

v G ≡

Ideal Transf.

MNA.AC MNA.AC T 400001 - 0000 v 0000 v - 000011 v - v 1 - 055 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v T ≡

A N M + N M + el G N N * el B N M * el C M N * el D M M * el 22 mat ≡

x ε N el I_.M 21 mat ≡

χ# E# MNA N# 0 : A# 9999 matrix : X# 991 matrix : B# X# : 14 mat k# 1 χ# rows range N# N# χ# k# 2 el stack max eval : 11 mat for k# 1 N# range X# k# 1 + el ε k# el : for M# N# 1 + : 11 mat k# 1 χ# rows range c# χ# k# 1 χ# cols range el : nod# c# 2 el 1 + : v Clear str# c# 1 el num2str : 14 mat c# length 2 > (c# 3 el NaN diff 0 ≡ (& val# v: c# 3 el num2str concat str2num : v c# 1 el : if r# 1 E# rows range E# r# 1 el str# 11 substr ≡ break continue if for r# 21 line str# strlen 1 > r# 1 E# rows range E# r# 1 el str# 11 substr ≡ break continue if for r# 21 line 0 if 12 mat n# E# r# 2 el : stamp# E# r# 3 el : ν# stamp# rows : 13 mat sr# 1 ν# range sr# n# ≤ nr# nod# sr# el : nr# M# sr# + n# - : X# nr# el E# r# 5 el sr# el num2str_str# concat str2num X# nr# el + : 21 line if B# nr# el E# r# 4 el sr# el B# nr# el + : sc# 1 ν# range sc# n# ≤ nc# nod# sc# el : nc# M# sc# + n# - : if A# nr# nc# el stamp# sr# sc# el A# nr# nc# el + : 21 line for 31 line for M# M# ν# + n# - : 61 line for A# A# 2 M# range 2 M# range el : B# B# 2 M# range el : VI# A# 1 -^B# * : 13 mat A# B# X# 2 M# range el VI# 1 N# 11 submatrix VI# N# 1 + M# 1 - 11 submatrix 15 mat 71 line :

this fails sometimes

A# B# X# 2 M# range el VI# 1 N# range el VI# N# 1 + (M# 1 - (range el 15 mat

v Clear 1

maple examples: https://cs.uwaterloo.ca/~smwatt/home/students/theses/XXie2001-msc.pdf

In the diagrams the maximun node is zero.

1

χ V.1 1212 mat R.1 0112 mat R.2 0212 mat 32 mat :

A b x V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

A b x 13 mat 1 R.1 / 0101 R.2 / 1 - 11 - 033 mat 00 V.1 31 mat ε 1 el ε 2 el I_V.1 31 mat 13 mat

12

χ V.1 1212 mat R.1 0112 mat R.2 0212 mat R.3 1212 mat 42 mat :

A b x V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

A b x 13 mat R.1 R.3 + R.1 R.3 * / 1 R.3 / - 11 R.3 / - R.2 R.3 + R.2 R.3 * / 1 - 11 - 033 mat 00 V.1 31 mat ε 1 el ε 2 el I_V.1 31 mat 13 mat

13

χ V.1 1212 mat R 2312 mat C 0312 mat L 1012 mat 42 mat :

A b x V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

A b x 13 mat 1 s L * / 00101 R / 1 R / - 1 - 01 R / - 1 s C * R * + R / 011 - 0044 mat 000 V.1 41 mat ε 1 el ε 2 el ε 3 el I_V.1 41 mat 13 mat

6.1

χ V.1 3112 mat I.1 1212 mat R.a 2312 mat R.b 2012 mat R.c 3012 mat 52 mat :

A b x V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

A b x 13 mat 0001 - 0 R.a R.b + R.a R.b * / 1 R.a / - 001 R.a / - R.a R.c + R.a R.c * / 11 - 01044 mat I.1 - I.1 0 V.1 41 mat ε 1 el ε 2 el ε 3 el I_V.1 41 mat 13 mat

17

χ Vo 1012 mat R 0212 mat C 1212 mat G 120014 mat 42 mat :

A b x V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

A b x 13 mat s C * s C * - 10 s C * - 1 s C * R * + R / 0110001001 G / - 44 mat 00 Vo 041 mat ε 1 el ε 2 el I_Vo I_G 41 mat 13 mat

This example shows how to "convert" from "short" notation of controled sources to long notation. Nodes of V are 1,0, then the input G 2,3,V,gm is G 1,2,0,0,G

20

χ V.1 1012 mat R.1 2312 mat R.2 3412 mat R.3 1212 mat R.4 0512 mat C.1 2312 mat C.2 4512 mat O.1 03213 mat O.2 05413 mat 92 mat :

A b x V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

A b x 13 mat 1 R.3 / 1 R.3 / - 0001001 R.3 / - R.1 R.3 + s C.1 * R.1 * R.3 * + R.1 R.3 * / 1 s C.1 * R.1 * + R.1 / - 0000001 s C.1 * R.1 * + R.1 / - R.1 R.2 + s C.1 * R.1 * R.2 * + R.1 R.2 * / 1 R.2 / - 0010001 R.2 / - 1 s C.2 * R.2 * + R.2 / s C.2 * - 000000 s C.2 * - 1 s C.2 * R.4 * + R.4 / 0011000000001 - 0000000001 - 000088 mat 00000 V.1 0081 mat ε 1 el ε 2 el ε 3 el ε 4 el ε 5 el I_V.1 I_O.1 I_O.2 81 mat 13 mat

http://qucs.sourceforge.net/tech/node14.html#fig:MNAexample

cir V.1 1012 mat R.1 1212 mat R.2 0212 mat I.1 0212 mat 42 mat :

cir MNA.AC MNA 1 R.1 / 1 R.1 / - 11 R.1 / - R.1 R.2 + R.1 R.2 * / 010033 mat 0 I.1 V.1 31 mat ε 1 el ε 2 el I_V.1 31 mat V.1 R.2 V.1 R.1 I.1 * + (* R.1 R.2 + / 21 mat V.1 - R.2 I.1 * + R.1 R.2 + / 11 mat 15 mat

https://www.multisim.com/content/FoEyAB9dEu2e7sFFoFSqad/inverting-opamp-amplifier/open/

This example shows how to produce a sinusoidal inuput, with the laplace transform of the time signal.

χ V.in 2012 mat NaN R.1 1212 mat 1 kΩ * R.2 1312 mat 6.45 kΩ * OA 03113 mat NaN 43 mat :

A b VI V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

Uppercase s domain - ≡

V 3 el 129 V.in * 20 / -

Lowercase t domain - ≡

and non-constant values

t.i t.e 12 mat 0 s * 3 ms * 12 mat :

Vo 100 mV * :

f 1 kHz * :

ω 2 π * f * :

3

t v.in Vo ω t * sin * t t.e < (* :

2

v.in LT Vo ω s 2^ω 2^+ / * ≡

V.in Vo ω s 2^ω 2^+ / * :

s V.out 129 V.in * 20 / - :

SMath bug: this fails:

s V.out V 3 el :

t v.out s V.out t t.i t.e 10 ILap :

x s * v.in x s * v.out 2 1 sys

V.in Vo f ω V.out Clear 1

uni Example

χ V.m 1012 mat 195 V * R.0 3412 mat 25 Ω * R.1 0412 mat 5 Ω * R.2 1212 mat 243 Ω * C 2012 mat 2.2 μF * L 2312 mat 46 mH * 63 mat :

A b VI V I 15 mat χ MNA.AC MNA :

VI transpose ε 1 el ε 2 el ε 3 el ε 4 el I_V.m 15 mat

s H V 2 el s / :

s H 195 kg * 24403223272727555600685346148600000000000023 s * 2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* s * - 67593750000000000 - 1250023 s * s * + (2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* + (* + (* 121064506112112755589749550197593750000000000 - 1250023 s * s * + (2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* + (* - 1056309403994240 s * s * 2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* + (* + (* 2500000000253 s 2^* s 2^* + (* 88505060088661900000000000000000 s * s * 3305661269215280000000000000000072552236361377923 s * 2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* s * - 67593750000000000 - 1250023 s * s * + (2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* + (* + (* + (* + (* m 2^* 558368699020051000000000000000000000000 A * 2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* 23 s * 2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* s * - 67593750000000000 - 1250023 s * s * + (2432500000000253 s 2^* s 2^* + (* 115000000 s * s * + (* + (* + (* s * s 3^* /

k 1 χ rows range χ.val k el χ k 1 el χ k 3 el ≡ : for

V.C0 V.m R.1 * R.1 R.2 + / χ.val at : 3.9315 V *

V.C1 V.m R.0 R.1 + (* R.0 R.1 + R.2 + / χ.val at : 21.4286 V *

t.i t.e 12 mat 0 s * 5 ms * 12 mat :

t u.C s H t t.i t.e 15 ILap :

x s * u.C V.C0 V.C1 3 1 sys

Using circuit uploaded by uni: https://en.smath.com/forum/resource.ashx?a=30115&b=2 at http://www.falstad.com/circuit/