<content> <p>ElasticCatenary</p> </content>

3ff9934e-0071-4049-99d1-c9dc1e9d79f9 441 Alvaro Diaz Falconi 4 5 false false false 0 0 decimal <content> <p>ElasticCatenary</p> </content>

Notation from https://en.wikipedia.org/wiki/Catenary#Elastic_catenary

α β wo To E p.A p.B p.O p a xo yo Clear 1

T p 2^wo 2^* To 2^+ sqrt :

Numeric Elastic Catenary

p.A p.B RK p x p y 2 1 sys p.B N Rkadapt :

p x' To E / wo T / + ≡

vo ECat p eq RK p 1 el p 2 el RK : RK RK rows 2 el x.B - RK RK rows 3 el y.B - 21 mat 21 line : p vo transpose eq al_nleqsolve : p transpose p 1 el p 2 el RK 11 mat augment 31 line :

p y' wo p * T E + T E * / * ≡

p.A x x.A ≡

p.A y y.A ≡

Symbolic Elastic Catenary

p x.s p wo * To / asinh To E / p * + α + : p y.s T wo / wo 2 E * / p 2^* + β + : 21 sys

Catenary by 3 points

x f a x xo - a / cosh * yo + :

vo Cat x.A f y.A ≡ x.B f y.B ≡ p.O x.s f p.O y.s ≡ 31 sys vo transpose FindRoot transpose 11 line :

vo Cat x φ u 1 el x u 2 el - u 1 el / cosh * u 3 el + : u eq.f x.A φ y.A - x.B φ y.B - p.O x.s φ p.O y.s - 31 mat : vo transpose 0105 -^u eq.f al_nleqsolve transpose 31 line :

Plot

RK vo Plot a xo yo 13 mat vo Cat : P RK 1 col : X RK 2 col : Y RK 3 col : 13 mat ABO x.A y.A 12 mat x.B y.B 12 mat p.O x.s p.O y.s 12 mat stack : P x.s vectorize P y.s vectorize augment X Y . augment X X f vectorize augment ABO o 10 red augment ABO A B O stack 10 augment 51 sys 41 line :

Params wo To E stack :

N 25 :

Example

wo 15 :

To 20 :

E 30 :

x.A y.A 12 mat 42012 mat :

x.B y.B 12 mat 208012 mat :

p.A p.B RK 13 mat 1 - 112 mat ECat : p.O p.A p.A 0 > (* eval : α p.A x.s x.A ≡ α roots : β p.A y.s y.A ≡ β roots : 41 line

RK 1 1 1 - 1 3 mat Plot

Results

p.O p.A p.B 13 mat 0 2.87 - 14.27 13 mat

α β 12 mat 7.42 14.78 12 mat

Minimun

p.O p.O x.s p.O y.s 13 mat 0 7.42 16.11 13 mat

If O is between A and B, then p.O = 0.

X RK 2 col : Y RK 3 col : 21 line

RK RK 3 col min 3 findrows 0.13 - 7.24 16.12 13 mat

Arc length

p x.s p diff 2^p y.s p diff 2^+ sqrt p p.A p.B int 71.7

X k el X k 1 - el - Y k el Y k 1 - el - 21 mat norme k 2 RK rows sum 71.66

Example

wo 30 :

To 5 :

E 4 :

x.A y.A 12 mat 4012 mat :

x.B y.B 12 mat 2015012 mat :

α β Clear 1

p.A p.B RK 13 mat 1 - 112 mat ECat : p.O p.A p.A 0 > (* eval : α p.A x.s x.A ≡ α roots : β p.A y.s y.A ≡ β roots : 41 line

RK 1 1 1 - 1 3 mat Plot

α β Clear 1

Example

wo 3 :

To 10 :

E 40 :

x.A y.A 12 mat 40 - 20012 mat :

x.B y.B 12 mat 2090 - 12 mat :

p.A p.B RK 13 mat 1 - 112 mat ECat : p.O p.A p.A 0 > (* eval : α p.A x.s x.A ≡ α roots : β p.A y.s y.A ≡ β roots : 41 line

RK 1 1 1 - 1 3 mat Plot

Example

Guess for p.A, p.B

Guess for a, xo, yo

Point A

RK Intervals

Plot margin

vo.1 40 - 1012 mat :

vo.2 1010 - 10 - 13 mat :

x.A y.A 12 mat 0012 mat :

N 25 :

δπ 0.20 :

Weight per unit length

Tension

Stiffness per length

κ.1 κ.2 κ.3

α β Clear 1

wo 2 κ.1 * : 4

To 20 κ.2 * : 44

E 40 κ.3 * : 148

x.B y.B

P x y P σ P (x 1 var2str, y 1 var2str) concat : x y σ 10 blue 15 mat x y o 10 red 15 mat 21 sys 21 line : y.B 100 y.B - eval : p.A p.B RK 13 mat vo.1 ECat eval : p.O p.A p.A 0 > (* eval : α p.A x.s x.A ≡ α roots eval : β p.A y.s y.A ≡ β roots eval : a xo yo 13 mat vo.2 Cat eval : P X Y 13 mat RK 1 col RK 2 col RK 3 col 13 mat eval : aπ bπ cπ dπ 14 mat X min X max Y min Y max 14 mat eval : Plot P x.s vectorize P y.s vectorize augment X Y . augment X X f vectorize augment A x.A y.A P B x.B y.B P O p.O x.s p.O y.s P 00 + 100000 gray augment 71 sys eval : 1111 line lastError try 1

XAxis.Min:{aπ-δπ*(bπ-aπ)}, XAxis.Max:{bπ+δπ*(bπ-aπ)}
YAxis.Min:{cπ-δπ*(dπ-cπ)}, YAxis.Max:{dπ+δπ*(dπ-cπ)}

Plot

p x.s p diff 2^p y.s p diff 2^+ sqrt p p.A p.B int 125.46

p.A p.B p.O 31 mat 36.95 - 50.01 031 mat

p.O x.s p.O y.s 21 mat 12.91 46.01 - 21 mat

Alvaro

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