Gewöhnliche Differenzialgleichungen Einführung
Ordinary Differential Equations (ODEs) Introduction to numeric solution techniques in SMath Studio
Inhalt
Contents
Mathematik
Mathematics
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Ordinary Differential Equations
Anforderungen an die Ableitungsfunktion D
Requirements for the rate function D
SMath verfügt über keinerlei eingebaute Funktionen zur Lösung von gewöhnlichen Differenzialgleichungen. Allerdings gibt es einige Plugins, die numerische Verfahren bereitstellen. Zudem bieten die Plugins MapleWrapper und Maxima Zugriff auf die symbolischen Lösungsmöglichkeiten mit MapleV und Maxima.
SMath has no built-in solvers for ordinary differential equations (ODE). However, there are plugins which provide numerical procedures for the solution of ODEs. Also, the MapleWrapper and Maxima plugins provides access to the symbolic capabilities of MapleV and Maxima.
Der Rest dieser Seite behandelt ausschließlich numerische Verfahren.
The remainder of this page is on numeric procedures only.
Gewöhnliche Differenzialgleichungen n-ter Ordnung sind Gleichungen, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten.
nth order ODEs are equations which contain derivatives of an unknown function y(x) up to order n.
Systeme gewöhnlicher Differenzialgleichungen bestehen aus mehreren Differenzial- gleichungen mit einer oder mehreren Funktionen einer unabhängigen Variable x.
ODE systems consist of several ODEs with one or several functions of a single independent variable x.
Jede Ableitung einer unbekannten Funktion u kann als neue Funktion v=u' aufgefasst werden. Damit kann jede Differenzialgleichung n-ter Ordnung als System von Differenzialgleichungen erster Ordnung geschrieben werden. Somit sind auch nur für solche Systeme numerische Verfahren erforderlich.
The first derivative u' of any unknown function u can be replaced by a separate function v if the ODE u'=v is added to the system. This way, any nth-order ODE can be rewritten as system of first order ODEs. Hence, it is sufficient to provide numerical procedures for such systems.
Alle abhängigen Variablen (Funktionen) können in einen Vektor geschrieben werden:
All dependent variables (functions) are collected in a vector y.
Beispiel:
Example
->
Die ersten Ableitungen dieser Funktionen können von den Funktionswerten und dem Wert der unabhängigen Variable x abhängen.
The first derivatives of these functions may depend on the function values and on the value of the independent variable x.
Siehe auch:
See also:
Anforderungen an die Ableitungsfunktion D
Requirements for the rate function D
Die numerischen Lösungsverfahren integrieren nun den durch D(y,x) gegebenen Zuwachs der Funktionen y über einen x-Bereich vom Anfangswert bis zum Endwert. Dabei ist in der Regel eine Schrittweite oder eine Anzahl von Schritten anzugeben, mit denen die Integration erfolgt.
The numeric solution procedures integrate the change of the functions y given by D(x,y) over a range of x from start value to end value. Normally, a number of steps or the length of the integration step must be provided.
Adaptive Verfahren regeln ihre Schrittweite selbst anhand einer voreingestellten oder anzugebenden Genauigkeit. Meist ist dennoch eine Schrittweite oder -anzahl anzugeben, diese dient dann nur der Ausgabesteuerung.
Adaptive procedures take care of the steps themselves (controlled by a default or adjustable precision requirement). Then the step specification is just for output control.
Damit das Gleichungssystem gelöst werden kann, müssen noch Startwerte (Anfangswerte, Randwerte, je nach physikalischer Interpretation der unabhängigen Variable x) angegeben werden:
For obtaining a unique solution of the system, initial or boundary values for the functions must be provided, depending on the phyiscal meaning of the independent variable x.
Als Ergebnis erhält man in der Regel eine Matrix, deren Zeilen die Werte von x und y für einen einzelnen Punkt enthalten.
Result is a n+1 times m+1 matrix where the rows stand for points of x and y values.
Die Matrix eignet sich gut für die grafische Darstellung der Lösung:
This solution matrix is easily used for plotting the solution:
Spalten 2 und 3 über Spalte 1 liefern die Funktionsverläufe über x
Plotting column 2 and 3 versus column 1 gives the functions versus x
Spalte 3 über Spalte 2 liefert eine Projektion des Zustandsraumes (Phasendiagramm). Der rote Kreis kennzeichnet den Anfangszustand.
Plotting column 3 versus column 2 gives a projection of the state space (phase plot). The red circle marks the initial state.
Gewöhnliche Differenzialgleichungen
Ordinary Differential Equations
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$Author: mkraska $ $Date: 2014-09-06 11:32:19 +0200 (Sa, 06. Sep 2014) $