Numerical Inverse Laplace Transform

c1a2a71c-d990-4f06-9a0d-8d7195bbce88 609 4 5 false false 0 decimal

MNA Solver

Based on algorithm of Oscar: https://en.smath.info/forum/yaf_postst1341_Signals-and-Systems.aspx

1 F t.i t.e N a ns nd ILap t N 1 matrix : ft t : 12 mat U t.e t.i - UnitsOf : m ns nd + 1 + : 12 mat t.o 105 -^U * t.i 12 mat max eval : Δt t.e t.o - N 1 - / : 12 mat α m 1 matrix : β α : γ nd 1 matrix : 13 mat n 1 m range : α n el a n 1 - (π * i * + eval : β n el 1 - (n 1 +^: 13 mat n h nd 1 + Γ 2 nd^nd 2 + n - Γ * n Γ * / eval : n 2 nd range : γ 1 el 1 h : γ n el n h γ n 1 - el + : 13 mat n ns 3 + (m range : β 1 el 0.5 β 1 el * : β n el β n el γ m n - 1 + el * : 13 mat α α : β e a^β * eval : 12 mat k 1 N range t k el t.o k 1 - (Δt * + : st α t k el / : βt β t k el / : 13 mat ft k el βt st F * Re vectorize eval sum : 21 line for t ft augment eval 111 line :

1 FF t t.i t.e N ILap FT s# FF t.i t.e N ILap 1 el ILap 2 el ILap 3 el ILap : U FT 11 el UnitsOf FT 12 el UnitsOf 12 mat : U 2 el FT 1 col U 1 el / FT 2 col U 2 el / t U 1 el / cinterp * t.i t ≤ (* t t.e ≤ (* 31 line :

ILap 6201913 mat :

a ns nd 13 mat

Γ.κ 0.99999999999999709182 57.156235665862923517 59.597960355475491248 - 14.136097974741747174 0.49191381609762019978 - 0.33994649984811888699 104 -^* 0.46523628927048575665 104 -^* 0.98374475304879564677 104 -^* - 0.15808870322491248884 103 -^* 0.21026444172410488319 103 -^* - 0.21743961811521264320 103 -^* 0.16431810653676389022 103 -^* - 0.84418223983852743293 104 -^* 0.26190838401581408670 104 -^* - 0.36899182659531622704 105 -^* 151 mat :

ζ Γ z ζ 1 - : zh 1 - 2 ζ * + 2 / : zg zh 607128 / + : 13 mat 2 π * sqrt zg 0.5 zh *^(2^* e zg^/ Γ.κ 1 el Γ.κ κ 1 + el z κ + / κ 114 sum + (* eval 21 line :

Valid for Re(ζ)>0

Heaviside x Φ 1 x sign + 2 / :

MNA STAMPS

SPICE codes

AC simulation

Resistor

MNA.AC R 21 v / 1 v / - 1 v / - 1 v / 22 mat 0021 mat 0021 mat 15 mat :

v R ≡

Capacitor

MNA.AC MNA.AC C 2 s v * s v * - s v * - s v * 22 mat 0021 mat 0021 mat 15 mat stack :

v C ≡

Inductor

MNA.AC MNA.AC L 21 s v * / 1 s v * - / 1 s v * - / 1 s v * / 22 mat 0021 mat 0021 mat 15 mat stack :

v L ≡

Current source

MNA.AC MNA.AC I 2000022 mat v - v 21 mat 0021 mat 15 mat stack :

v I ≡

Voltage source

MNA.AC MNA.AC V 2001001 - 11 - 033 mat 00 v 31 mat 00 I 31 mat 15 mat stack :

v V ≡

Power source

MNA.AC MNA.AC P 21 v 1 el / 1 v 1 el / - 1 v 1 el / - 1 v 1 el / 22 mat 8 v 2 el * v 1 el / sqrt 8 v 2 el * v 1 el / sqrt - 21 mat 0021 mat 15 mat stack :

v 1 el R ≡

Figures frome QUCS online help

v 2 el P ≡

OpAmp

MNA.AC MNA.AC O 3000000010000101 - 044 mat 000041 mat 000 I 41 mat 15 mat stack :

VCCS

MNA.AC MNA.AC G 4000000000100001 - 000001001 - 1 v / - 55 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v G ≡

CCCS

MNA.AC MNA.AC F 400001 v / 0000100001 - 00001 v / - 1001 - 055 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v G ≡

VCVS

MNA.AC MNA.AC E 40000000001 - 0000100000 v 1 - 1 v - 055 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v G ≡

CCVS

MNA.AC MNA.AC H 4000010000001 - 00000100001 - 0011 - 0 v - 01001 - 0066 mat 00000061 mat 0000 Iin Iout 61 mat 15 mat stack :

v G ≡

Ideal Transf.

MNA.AC MNA.AC K 400001 - 0000 v 0000 v - 000011 v - v 1 - 055 mat 0000051 mat 0000 I 51 mat 15 mat stack :

v T ≡

A N M + N M + el G N N * el B N M * el C M N * el D M M * el 22 mat ≡

x ε N el I_.M 21 mat ≡

c# 3 el NaN diff 0 ≡

χ# E# MNA N# 0 : A# 9999 matrix : X# 991 matrix : B# X# : 14 mat k# 1 χ# rows range N# N# χ# k# 2 el stack max eval : 11 mat for k# 1 N# range X# k# 1 + el ε k# el : for M# N# 1 + : 11 mat k# 1 χ# rows range c# χ# k# 1 χ# cols range el : nod# c# 2 el 1 + : v Clear str# c# 1 el num2str : 14 mat c# length 2 > (1 (& val# v: c# 3 el num2str concat str2num : v c# 1 el : if r# 1 E# rows range E# r# 1 el str# 11 substr ≡ break continue if for n# E# r# 2 el : stamp# E# r# 3 el : ν# stamp# rows : 13 mat sr# 1 ν# range sr# n# ≤ nr# nod# sr# el : nr# M# sr# + n# - : X# nr# el E# r# 5 el sr# el num2str_str# concat str2num X# nr# el + : 21 line if B# nr# el E# r# 4 el sr# el B# nr# el + : sc# 1 ν# range sc# n# ≤ nc# nod# sc# el : nc# M# sc# + n# - : if A# nr# nc# el stamp# sr# sc# el A# nr# nc# el + : 21 line for 31 line for M# M# ν# + n# - : 61 line for A# A# 2 M# range 2 M# range el : B# B# 2 M# range el : VI# A# 1 -^B# * : 13 mat A# B# X# 2 M# range el VI# 1 N# 11 submatrix VI# N# 1 + M# 1 - 11 submatrix 15 mat 71 line :

this fails sometimes

A# B# X# 2 M# range el VI# 1 N# range el VI# N# 1 + (M# 1 - (range el 15 mat

v Clear 1

OpAmp Integrator

https://en.wikipedia.org/wiki/Op_amp_integrator

OpAmp integrator

Efficient tanh function z TH ζ z 2^: z 1 ζ 3 ζ 5 ζ 7 ζ 9 ζ 11 ζ 13 / + / + / + / + / + / + / 21 line :

Shorthands:

V.SOL χ MNA.AC MNA 4 el :

Π x s * v.i x s * t.i t.e lele * x s * v.o x s * t.i t.e lele * x s * v.os x s * t.i t.e lele * 31 sys 11 line :

t v.o s V.o t t.i t.e 16 ILap 11 line :

Ideal integrator

Symbolic solution in freq domain

χ s V.i 1012 mat R.1 1212 mat R.L 0312 mat C.F 2312 mat O 03213 mat 52 mat :

s V.o V.SOL 3 el : s V.i s C.F * R.1 * / -

Remember that ... τ v.i τ 0 t int t s laplace maple t v.I t s laplace s /

Symbolic solution in time domain

t v.os 1 C.F R.1 * / τ s * v.i τ t.i t int * - :

Numerical values

t.i t.e 12 mat 0 s * 300 ms * 12 mat :

f 8 Hz * :

Vo 150 mV * :

ω 2 π * f * : 50.2655 Hz *

T 1 f / : 0.125 s *

R.1 220 kΩ * :

R.L 320 Ω * :

C.F 200 nF * :

t v.i Vo ω t * sin sign * : s V.i Vo s / s T * 4 / TH * : 21 sys

Pulse train input

SMath's int isn't very stable

- blue: input signal - red: ILap solution - green: integrate solution

t v.i Vo ω t * sin * : s V.i Vo ω s 2^ω 2^+ / * : 21 sys

Sinusoidal input

"Perfect" match.

s V.i Vo T ω R.1 R.L C.F Clear 1

Real integrator

Symbolic solution in freq domain

χ s V.i 1012 mat R.1 1212 mat R.L 0312 mat C.F 2312 mat O 43213 mat R.F 2312 mat R.1 0412 mat 72 mat :

s V.o V.SOL 3 el : s V.i R.F * 1 s C.F * R.F * + (R.1 * / -

Symbolic solution in time domain

Can't find a general explicit expression.

s V.o s t invlaplace maple R.F s V.I 1 s C.F * R.F * + / s t invlaplace * R.1 / -

Search a particular symbolic solution

Pulse train

s V.i Vo s / s T * 4 / tanh * :

v.pulse s V.o s t invlaplace maple :

v.pulse Vo R.F * 1 - (1 - 2 t * T / ceil +^C.F R.F * s T * 4 / tanh 1 s C.F * R.F * + / s t invlaplace * - (* R.1 / -

Fails, take

v.pulse 0 :

Sinusoidal

s V.i Vo ω s 2^ω 2^+ / * :

v.sin s V.o s t invlaplace maple :

v.sin Vo R.F * C.F R.F * ω t * cos * ω * - ω t * sin + C.F R.F * t C.F R.F * / - exp * ω * + (* R.1 1 C.F 2^R.F 2^* ω 2^* + (* / -

It's OK

Numerical values

t.i t.e 12 mat 0 s * 300 ms * 12 mat :

f 8 Hz * :

Vo 150 mV * :

R.F 250 kΩ * :

R.1 220 kΩ * :

R.L 320 Ω * :

C.F 200 nF * :

R.om 11 R.1 / 1 R.F / + 1 R.L / + / : kΩ 0.3191

ω 2 π * f * : 50.2655 Hz *

T 1 f / : 0.125 s *

t v.i Vo ω t * sin sign * : s V.i Vo s / s T * 4 / TH * : t v.os 0 : 31 sys

Can't compare with any symbolic solution

Pulse train input

t v.i Vo ω t * sin * : s V.i Vo ω s 2^ω 2^+ / * : t v.os v.sin : 31 sys

"Perfect" match.

Sinusoidal input

opamps

Summary of basic op amp circuits

V.i R.1 χ Clear 1

V.SOL χ MNA.AC MNA 4 el :

Inverter amplifier

χ V.i 1012 mat R.1 1212 mat R.2 2312 mat O 03213 mat 42 mat :

V.o V.SOL 3 el :

V.o V.i R.2 * R.1 / -

Noninverter amplifier

χ V.i 1012 mat R.1 0212 mat R.2 2312 mat O 13213 mat 42 mat :

V.o V.SOL 3 el :

V.o R.1 R.2 + (V.i * R.1 /

Voltage Follower

χ V.i 1012 mat O 12213 mat 22 mat :

V.o V.SOL 2 el :

V.o V.i

Summer

χ V.1 1012 mat V.2 2012 mat V.3 3012 mat R.1 1412 mat R.2 2412 mat R.3 3412 mat R.f 4512 mat O 05413 mat 82 mat :

V.o V.SOL 5 el :

V.o R.f V.1 R.2 * V.2 R.1 * + (R.3 * V.3 R.2 * R.1 * + (* R.3 R.2 * R.1 * / -

Difference Amplifier

χ V.1 1012 mat V.2 2012 mat R.1 3112 mat R.1 4212 mat R.2 0412 mat R.2 3512 mat O 45313 mat 72 mat :

V.o V.SOL 5 el :

V.o R.2 V.1 - V.2 + (* R.1 /

Alvaro